Question

Найти остаток от деления 31^1994+959^997 на 960

Answer 1

Решение
8900 = 832·28+4 ≡ 84 = 642 ≡ 62 ≡ 7 (mod 29).

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться свойством остатка от деления и свойством возведения в степень.

1. Сначала рассмотрим остаток от деления 31^1994 на 960. Мы можем разложить 31^1994 на множители:
31^1994 = (30+1)^1994

Используем бином Ньютона для разложения:
(30+1)^1994 = 1^1994 + C(1994,1)*1^1993*30 + C(1994,2)*1^1992*(30^2) + ...

Заметим, что все слагаемые со второго и последующих степеней 30 будут деляться на 960 без остатка, так как они содержат в себе (30^2), (30^3) и т.д. Нам остается только рассмотреть первое слагаемое:
1^1994 = 1

Таким образом, остаток при делении 31^1994 на 960 равен 1.

2. Затем рассмотрим остаток от деления 959^997 на 960. Аналогично, разложим 959^997 на множители:
959^997 = (960-1)^997

Используем бином Ньютона:
(960-1)^997 = 1^997 - C(997,1)*1^996*(960) + C(997,2)*1^995(960^2) - ...

Здесь также все слагаемые со второго и последующих степеней 960 будут делиться на 960 без остатка. Рассмотрим первое слагаемое:
1^997 = 1

Таким образом, остаток при делении 959^997 на 960 также равен 1.

3. Теперь мы можем найти остаток от деления суммы (31^1994 + 959^997) на 960. Для этого сложим остатки от деления каждого слагаемого на 960:
(1 + 1) % 960 = 2 % 960 = 2

Таким образом, остаток от деления 31^1994+959^997 на 960 равен 2.