очевидно при n = 1 не существует графа с 2 ребрами, поэтому n ≥ 2
степень вершины - количество всех ребер, выходящих из вершины deg(v)
сумма степеней всех вершин равна удвоенному количеству всех ребер
т.е. в данном графе сумма степеней вершин
будем доказывать от противного. предположим такого ребра нет.
рассмотрим любые 4 вершины, чтобы среди них не было ребра, которое принадлежит двум циклам длины 3, среди них может быть проведено не более 4 ребер, как бы не проводили пятое, всегда оно дополнит второй цикл.
поэтому сумма степеней всех вершин среди любых четырех не превосходит 4*2 = 8
рассмотрим четверки:
сложим все неравенства и получим, что
4*deg(V) ≤ 16n
deg(V) ≤ 4n
но deg(V) по условию равно 2n² + 2
2n² + 2 ≤ 4n
2(n-1)² ≤ 0
неравенство может выполниться только при n = 1, но как уже было отмечено, этот случай не удовлетворяет по условию.
Значит, наше предположение было не верно.
ответ: доказано.
1) 30 см; 6,15 см²
2) 112 мм; 959 мм²
Пошаговое объяснение:
1) Периметр - это сумма сторон. Поэтому он равен 6 · 5 = 30 (см)
Площадь правильного пятиугольника равна сумме площадей равных треугольников, из которых он состоит. Площадь треугольника равна 1/2 · 6 · 0,41 см = 1,23 (см²) Значит, площадь пятиугольника равна
1,23 · 5 = 6,15 (см²)
2) Периметр восьмиугольника: 14 · 8 = 112 (мм)
Площадь его равна сумме площадей равных правильных треугольников, из которых он состоит (их восемь)
Площадь треугольника: 1/2 · 14 · 17 = 119 (мм²)
Площадь восьмиугольника: 119 · 8 = 952 (мм²)