Question

При каком значении λ вектор с =(-4,4,λ ) является линейной комбинацией векторов a=(3,2,1) и b=(1,2,3) ?
a) 5
b) 12
c) 4
d) 10

Answer 1

Для вектора c=(-4,4,λ) to стать линейной комбинацией векторов a=(3,2,1) и b=(1,2,3), необходимо найти значения λ, которые удовлетворяют условию:

c = λa + μb, где λ и μ - это коэффициенты перед векторами a и b соответственно.

Заменяем значения векторов:

(-4,4,λ) = λ(3,2,1) + μ(1,2,3)

Раскрываем скобки:

(-4,4,λ) = (3λ,2λ,λ) + (μ,2μ,3μ)

Собираем вместе компоненты x, y и z из каждой стороны уравнения:

x: -4 = 3λ + μ
y: 4 = 2λ + 2μ
z: λ = 1λ + 3μ

Теперь решим данную систему уравнений методом подстановки или методом Гаусса-Жордана.

1. Метод подстановки:
берем одно уравнение, например, λ = 1λ + 3μ
λ - λ = 1λ + 3μ - λ
0 = 1λ + 2μ
λ = -2μ

2. Подставляем найденное значение λ в другие уравнения:
-4 = 3λ + μ
-4 = 3(-2μ) + μ
-4 = -6μ + μ
-4 = -5μ
μ = 4/5

3. Подставляем найденное значение μ в другое уравнение:
4 = 2λ + 2μ
4 = 2(-2μ) + 2(4/5)
4 = -4μ + 8/5
4 + 4μ = 8/5
20/5 + 4μ = 8/5
20 + 20μ = 8
20μ = -12
μ = -12/20
μ = -3/5

4. Теперь найдем значение λ, подставив найденные значения μ в уравнение λ = -2μ:
λ = -2(-3/5)
λ = 6/5

Таким образом, когда λ = 6/5, вектор c = (-4,4,λ) является линейной комбинацией векторов a=(3,2,1) и b=(1,2,3).

Ответ: λ = 6/5.