Question

Задача представлена на картинке

Answer 1

Пусть уравнение искомой кривой y=y(x). Рассмотрим произвольную точку $(x_0;y_0)$ на плоскости,  производную в этой точке обозначим через $y'_0.$ Уравнение касательной к кривой будет иметь вид

$y=y_0+y'_0(x-x_0).$

Чтобы узнать, где эта касательная пересекается с осью OY, подставим x=0:

$y=y_0-y'_0\cdot x_0\Rightarrow y-y_o=-y'_0\cdot x_0.$

По условию $y-y_0=-1\Rightarrow -1=-y'_0\cdot x_0;\ y'_0\cdot x_0=1.$

Поскольку $(x_0;y_0)$ - произвольная точка, можно последнее условие переписать в виде

$y'\cdot x=1\Rightarrow y'=\frac{1}{x}; y=\ln |x|+C.$

Поскольку по условию кривая проходит через точку $M_0(1;2),$ можем найти C:

$2=\ln 1+C;\ C=2\Rightarrow y=\ln |x|+2.$

И наконец, поскольку абсцисса точки $M_0,$ которая лежит на кривой, положительна, и во всех других точках кривой абсцисса будет положительной, поэтому окончательный ответ такой:

$y=\ln x +2.$