Question

Найти неопределённые интегралы

Answer 1

в

$\int\limits \frac{dx}{ \sin {}^{2} ( \frac{x}{5} ) } = 5\int\limits \frac{d( \frac{x}{5}) }{ \sin {}^{2} ( \frac{x}{5} ) } = - ctg( \frac{x}{5} ) + C \\$

б

В числителе делаем производную знаменателя

$\int\limits \frac{x + 4}{ {x}^{2} - 2x - 8 } = \frac{1}{2} \int\limits \frac{2x + 8}{ {x}^{2} - 2x - 8} dx = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \frac{2x - 2 + 10}{ {x}^{2} - 2x - 8} dx = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \frac{(2x - 2)dx}{ {x}^{2} - 2x - 8 } + \frac{1}{2} \int\limits \frac{10dx}{ {x}^{2} - 2x - 8 } = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {x}^{2} - 2x - 8)}{ {x}^{2} - 2x - 8 } + 5\int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} - 2x + 1 - 9 } = \\ = \frac{1}{2} ln( | {x}^{2} - 2x - 8 | ) + 5\int\limits \frac{d(x - 1) }{ {(x - 1)}^{2} - {3}^{2} } = \\ = \frac{1}{2} ln( | {x}^{2} - 2x - 8| ) + \frac{5}{2 \times 3} ln( | \frac{x - 1 - 3}{x - 1 + 3} | ) + C = \\ = \frac{1}{2} ln( | {x}^{2} - 2x - 8 | ) + \frac{5}{6} ln( | \frac{x - 4}{x + 2} | ) + C$

с

$\int\limits \: x ln(1 - 3x) dx \\$

По частям:

$u = ln(1 - 3x) \: \: \: du = - \frac{3}{1 - 3x} dx \\ dv = xdx \: \: \: \: \: v = \frac{ {x}^{2} }{2} \\ \\ uv - \int\limits \: vdu = \\ = \frac{ {x}^{2} }{2} ln(1 - 3x) +\int\limits \frac{ {x}^{2} }{2} \times \frac{3dx}{1 - 3x} = \\ = \frac{ {x}^{2} }{2} ln(1 - 3x) + \frac{3}{2} \int\limits \frac{ {x}^{2} dx}{1 - 3x} = \\ = \frac{ {x}^{2} }{2} ln(1 - 3x) - \frac{3}{ 2} \int\limits( \frac{3x + 1}{9} + \frac{1}{9(3x + 1)} )dx = \\ = \frac{ {x}^{2} }{2} ln(1 - 3x) - \frac{3}{2} \times \frac{1}{9} \times ( \frac{3 {x}^{2} }{2} + x) - \frac{1}{2} \times \frac{1}{9} \int\limits \frac{d(3x + 1)}{3x + 1} = \\ = \frac{ {x}^{2} }{2} ln(1 - 3x) - \frac{1}{18} ( \frac{3 {x}^{2} }{2} + x) - \frac{1}{18} ln(3x + 1) + C = \\ = \frac{ {x}^{2} }{2} ln(1 - 3x) - \frac{ {x}^{2} }{12} - \frac{x}{18} - \frac{1}{18} ln(3x + 1) + C$