В стране 100 городов: 30 из них находятся в горной части страны, а 70 —
в равнинной. В течение трёх лет между городами устанавливали
авиасообщение. Каждый год в стране открывалось 50 новых авиарейсов: все
города случайным образом разбивались на 50 пар, и между городами из одной
пары открывался рейс. Через три года оказалось, что из 150 открытых рейсов
ровно 21 соединяет пару «горных» городов. Сколько рейсов соединяют пару
«равнинных» городов?
По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,
AK = AM = 6 см
BF = BM = 4 см
CK = CF
Обозначим за x см отрезок CK. Найдём стороны треугольника ABC:
AB = AM + BM = 6 + 4 = 10 см
AC = AK + CK = (6 + x) см
BC = BF + CF = (4 + x) см
Найдём x по теореме Пифагора:
AC² + BC² = AB²
(6 + x)² + (4 + x)² = 10²
36 + 12x + x² + 16 + 8x + x² = 100
2x² + 20x - 48 = 0
x² + 10x - 24 = 0
x₁ = 2
x₂ = -12 (не подходит, так как меньше нуля)
x = 2, откуда
AC = AK + CK = 6 + x = 6 + 2 = 8 см
BC = BF + CF = 4 + x = 4 + 2 = 6 см
PΔABC = AC + CB + AB = 8 + 6 + 10 = 24 см
ответ: 24 см