Question

Доведіть що функція у=(cosx/10)+x/8 зростає на множині дійсних чисел. ​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1) Область определения функции:

$D(y) = \R,$

т.е. функция определена на множ. действительных чисел.

2) Определим производную:

$y' = (\cos\tfrac{x}{10}+\tfrac{x}{8} )' = - \sin \tfrac{x}{10} {\cdot} ( \tfrac{x}{10})' + ( \tfrac{x}{8})' \\ = - \frac{\sin \tfrac{x}{10}}{10} + \frac{1}{8} = \frac{1}{8} - \frac{\sin \tfrac{x}{10}}{10}$

3) Сравним у'(х) с нулем:

$\small{ \frac{1}{8} { -} \frac{\sin \tfrac{x}{10}}{10}{ =} \frac{5}{40} { -}\frac{\sin \tfrac{x}{10}}{10}{ = } \frac{1}{40} { + }( \frac{4}{40} { - }\frac{\sin \tfrac{x}{10}}{10}) = } \\ = \frac{1}{40} + \frac{1}{10} (1 - {\sin \tfrac{x}{10}}) \\ \: 1 - {\sin \tfrac{x}{10}} \geqslant 0 \: < = \frac{1}{10} (1 - {\sin \tfrac{x}{10}})\geqslant 0 \\ < = \frac{1}{40} + \frac{1}{10} (1 - {\sin \tfrac{x}{10}})0 \: \: \forall \: {x} \in \R = \\ = \: \forall \: {x} \in \R \: \: y'(x) 0$

А то, что у'(х) > 0, означает, что функция у(х) возрастает на всей своей обл. определения, т.е.

у(х) возрастает на R

Что и требовалось доказать

Answer 2

Пошаговое объяснение: