Question

Найдите сумму корней или корень
|x+2|+8x=|x-2|-60

Answer 1

$x = - 7$

Пошаговое объяснение:

$|x+2|+8x=|x-2|-60 \\ \begin{cases}x+2+8x=x-2-60 \\ \begin{cases} x + 2 \geqslant 0 \\ x - 2 \geqslant 0\end{cases}{ = } x \in[2;+ \infty ) \end{cases} \: \: \: \: \: \: \: \: \: (1) \\ \cup \\ \begin{cases} x+2+8x= - (x-2)-60 \\ \begin{cases} x + 2 \geqslant 0 \\ x - 2 < 0\end{cases}{ = } x \in[ - 2;2) \end{cases} \quad \: \: \: \: (2) \\ \cup \\ \begin{cases} - (x+2)+8x= - (x-2)-60 \\ \begin{cases} x + 2 < 0 \\ x - 2 < 0\end{cases}{ = }x \in(- \infty ;-2) \end{cases} \: \: (3)\\$

Решим уравнения по порядку, с учетом возможных значений х для каждой системы:

$1) \begin{cases}x+2+8x=x-2-60 \\x \in[2;+ \infty ) \end{cases} \\ x+2+8x=x-2-60\\ \: \cancel{ \: x \: }+2+8x=\cancel{ \: x \: }-2-60 \\ 8x = - 60 - 4 = - 64 \\ x = - \frac{64}{8} = - 8 \: \\ x = - 8 \: \cancel{\in} \: [2;+ \infty ) \: = \cancel{o} \\$

Система (1) корней не имеет.

$\\2) \: \begin{cases} x+2+8x= - (x-2)-60 \\ x \in[ - 2;2) \end{cases}\\ x+2+8x= - x + 2-60 \\ x + 8x + x = 2 - 60- 2 \\ 10x = - 60 \\ x = - \frac{60}{10} = - 6 \\ x = - 6 \: \cancel{ \in} \: [ - 2;2) = \: \cancel{o}$

Система (2) корней не имеет.

$3) \begin{cases} - (x+2)+8x= - (x-2)-60 \\ x \in(- \infty ;-2) \end{cases} \\ \: - (x+2)+8x= - (x-2)-60 \\ \cancel{{- } x} - 2 + 8x = \cancel{{- } x} + 2 - 60 \\ 8x = 2 - 60 + 2 = - 56 \\ x = - \frac{56}{8} = - 7 \\ x = { - }7 \: \in \: ( - \infty ;-2) = \\ = \: \: \: ^{ \: \: \: x = - 7 \: \: - \: } _{\: корень \: уравнения}$

Система (3) имеет один корень: х = -7

Отсюда получаем, что

х= -7 - единственный корень уравнения.