Question

Найти общее решение дифференциального уравнения

Answer 1

$y '''+ y'' - 2y' = - 4x - 2$

1.

$y''' + y ''- 2y '= 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ k {}^{3} - k {}^{2} - 2k = 0 \\ k(k {}^{2} - k - 2) = 0 \\ k_1 = 0 \\ k_2 = - 2 \\ k_3 = 1 \\ \\ y = C_1 + C_2 {e}^{ - 2x} + C_3e {}^{x}$

2.

$y = (ax + b) \times x = a {x}^{2} + bx$

$y' = 2ax + b$

$y'' = 2a$

$y = 0$

$0 + 2a - 4ax - 2b = - 4x - 2 \\ \\ - 4a = - 4 \\ 2a - 2b = - 2 \\ \\ a = 1 \\ b = 2$

$y = {x}^{2} + 2x$

общее решение:

$y = C_1 +C_2e {}^{ - 2x} + C_3 {e}^{x} + {x}^{2} + 2x$