Получаем два корня:
x₁=(-4+2)/(-2)=-1
x₂=(-4-2)/(-2)=3
Шаг 3: Определим, какие линии лежат выше других.
Для этого, подставим найденные значения x в оба исходных уравнения и определим их y-координаты.
Для первого уравнения:
y=−x2+6x
Подставим x=-1 и x=3:
y₁=−(−1)2+6(−1)=7
y₂=−3^2+6(3)=3
Для второго уравнения:
y=2x+3
Подставим x=-1 и x=3:
y₃=2(−1)+3=1
y₄=2(3)+3=9
Таким образом, получаем следующие координаты точек пересечения:
Точка A(-1, 7)
Точка B(3, 3)
Точка C(-1, 1)
Точка D(3, 9)
Шаг 4: Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями.
Для этого, нам необходимо найти площадь между двумя кривыми.
Скачем на график: y=−x2+6x и y=2x+3
Сначала найдем площадь криволинейной фигуры, ограниченной графиком функции y=−x2+6x и осью Ox. Эту площадь будем считать положительной, так как значения y всегда положительные на этой области.
Для этого, все считаем, что фигура располагается между точками A и B.
Так как оба графика пересекаются в точках A и B, тогда
площадь f(x) = ∫[a,b](-x2+6x)dx.
Применим формулу площади под кривой для данной функции:
∫[a,b](-x2+6x)dx =[−x3/3+3xᐟ²]ₐᵦ
=[−(3)³/3+(3*3)ᐟ²] - [−(−1)³/3+(3*-1)ᐟ²]
=[−27/3+(9)ᐟ²] - [−(−1)/3+(−3)ᐟ²]
=[−9+3√3] - [1−√3]=−8+2√3
Теперь найдем площадь под прямой.
Для этого, все считаем, что фигура располагается между точками C и D.
Так как прямая y=2x+3 находится выше, а функция y=−x2+6x находится ниже на этом интервале, площадь будет отрицательной.
Площадь прямоугольника под прямой равна:
2∫[c,d](2x+3)dx=2[x²+3x]ₘₙ=[2d²+6d] - [2c²+6c]
Подставим значения точек C и D:
2(3²+6*3) - 2(-1²+6*-1)
2(9+18) - 2(1-6)
2(27) - 2(-5)
54+10
64
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной этими линиями, равна сумме площади под кривой и площади прямоугольника:
(−8+2√3) + 64 = 56+2√3.
Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y=−x2+6x,y=2x+3 равна 56+2√3.
Шаг 1: Найдем точки пересечения линий.
Для этого приравняем уравнения двух линий и решим полученное уравнение:
−x2+6x = 2x+3
Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
−x2+6x-2x-3 = 0
Комбинируем подобные члены:
−x2+4x-3 = 0
Шаг 2: Решим полученное квадратное уравнение.
Для решения этого уравнения, воспользуемся квадратным трехчленом:
x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)
В данном случае, a=-1, b=4, и c=-3. Подставим эти значения в формулу и рассчитаем x:
x=(-4±√(4^2-4*(-1)*(-3)))/(2*(-1))
Выполним вычисления:
x=(-4±√(16-12))/(−2)
x=(-4±√4)/(−2)
Получаем два корня:
x₁=(-4+2)/(-2)=-1
x₂=(-4-2)/(-2)=3
Шаг 3: Определим, какие линии лежат выше других.
Для этого, подставим найденные значения x в оба исходных уравнения и определим их y-координаты.
Для первого уравнения:
y=−x2+6x
Подставим x=-1 и x=3:
y₁=−(−1)2+6(−1)=7
y₂=−3^2+6(3)=3
Для второго уравнения:
y=2x+3
Подставим x=-1 и x=3:
y₃=2(−1)+3=1
y₄=2(3)+3=9
Таким образом, получаем следующие координаты точек пересечения:
Точка A(-1, 7)
Точка B(3, 3)
Точка C(-1, 1)
Точка D(3, 9)
Шаг 4: Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями.
Для этого, нам необходимо найти площадь между двумя кривыми.
Скачем на график: y=−x2+6x и y=2x+3
Сначала найдем площадь криволинейной фигуры, ограниченной графиком функции y=−x2+6x и осью Ox. Эту площадь будем считать положительной, так как значения y всегда положительные на этой области.
Для этого, все считаем, что фигура располагается между точками A и B.
Так как оба графика пересекаются в точках A и B, тогда
площадь f(x) = ∫[a,b](-x2+6x)dx.
Применим формулу площади под кривой для данной функции:
∫[a,b](-x2+6x)dx =[−x3/3+3xᐟ²]ₐᵦ
=[−(3)³/3+(3*3)ᐟ²] - [−(−1)³/3+(3*-1)ᐟ²]
=[−27/3+(9)ᐟ²] - [−(−1)/3+(−3)ᐟ²]
=[−9+3√3] - [1−√3]=−8+2√3
Теперь найдем площадь под прямой.
Для этого, все считаем, что фигура располагается между точками C и D.
Так как прямая y=2x+3 находится выше, а функция y=−x2+6x находится ниже на этом интервале, площадь будет отрицательной.
Площадь прямоугольника под прямой равна:
2∫[c,d](2x+3)dx=2[x²+3x]ₘₙ=[2d²+6d] - [2c²+6c]
Подставим значения точек C и D:
2(3²+6*3) - 2(-1²+6*-1)
2(9+18) - 2(1-6)
2(27) - 2(-5)
54+10
64
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной этими линиями, равна сумме площади под кривой и площади прямоугольника:
(−8+2√3) + 64 = 56+2√3.
Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y=−x2+6x,y=2x+3 равна 56+2√3.