ДАНО
Y = (x² + 9)/x
ИССЛЕДОВАНИЕ
1. Область определения. Деление на ноль в знаменателе.
Х≠ 1.
Х∈(-∞;0)∪(0;+∞)
2. Вертикальная асимптота: Х= 1.
3. Пересечение с осью Х. Y(x) = 0 - нет.
4. Пересечение с осью У - нет
5. Наклонная асимптота
k = lim(+∞)Y(x)/x = 4*x/x = 4. Уравнение асимптоты: Y = 4*x.
6. Проверка на чётность.
Y(-x) ≠ Y(x). Y(-x) ≠ - Y(x)
Функция ни четная ни нечетная.
7. Поведение в точке разрыва.
lim(->0-) Y(x) = -∞.
lim(->0+) Y(x) = +∞
8, Первая производная.
6. Локальные экстремумы.
Y'(x) = 0, x1 = - 3/2, x2 = 3/2
Максимум Y(-3/2)= .-12.
Минимум Y(3/2) = 12.
7. Участки монотонности функции.
Возрастает - Х∈(-∞;-3/2]∪[3/2;+∞).
Убывает - Х∈[-3/2;0)∪(0;3/2]
8. Вторая производная.
Корней нет. Точек перегиба (на графике) - нет.
9. Выпуклая - "горка" - Х∈(-∞;0). Вогнутая - "ложка" - Х∈(0;+∞)
10. График в приложении
Перепишем: a^(1/3) + b^(1/3) = c^(1/3)
Возведём в куб обе части: (a^(1/3) + b^(1/3))^3 = c; (Запомним это выражение, потом пригодится).
Раскрываем скобки по формуле куба суммы:
a + 3 a^(2/3) b^(1/3) + 3 a^(1/3) b^(2/3) + b = c
Перепишем:
a + b - c = -3 a^(2/3) b^(1/3) - 3 a^(1/3) b^(2/3)
В правой части вынесем за скобки 3 a^(1/3) b^(1/3)
a + b - c = -3 a^(1/3) b^(1/3) *(a^(1/3) + b^(1/3))
Возводим обе части в куб
(a + b - c)^3 = -27ab (a^(1/3) + b^(1/3))^3
Вспоминаем то, что запомнили, получаем:
(a + b - c)^3 = -27abc
Всё.