40320
Пошаговое объяснение:
У меня угловые клетки черные, это, конечно, ни на что не влияет. Рассматриваем два варианта - на черных клетках стоят ладьи или на белых. Потом результаты сложим и получим ответ.
1. Белые клеткиЕсли внимательно посмотреть на доску, белые клетки делятся на две независимые (с точки зрения хода ладьи) группы, помеченные у меня цифрами 3 и 4. Я перерисую их отдельно, получатся прямоугольники 4x5 и 5x4. Поскольку в каждый прямоугольник можно поставить не более четырех не бьющих друг друга ладей (в первом случае есть только 4 столбца, во втором - 4 строки), то в каждый прямоугольник нужно поставить ровно 4 ладьи, притом, очевидно, количество допустимых расстановок в прямоугольнике 4x5 и 5x4 совпадает.
Считаем количество расстановок в прямоугольнике 4x5. В первую горизонталь можно поставить ладью пятью во вторую четырьмя, в третью тремя, во вторую двумя. Всего расставить 4 не бьющие друг друга ладьи в прямоугольник 4x5 оказывается 
.
Во второй белый прямоугольник можно расставить 4 не бьющие друг друга ладьи тоже расстановки выбираются независимо, так что всего расставить ладьи на белые клетки 
.
Аналогично, есть два независимых квадрата 4x4 и 5x5. Тут есть две возможности: на большой квадрат поставить 5 ладей, на маленький 3; на большой 4, на маленький 4.
1) 5 + 3: в большой квадрат ладьи расставляются
Если в маленьком не ставить ладью на четвёртую горизонталь, будет а ту горизонталь, на которую будем не ставить ладью, можно выбрать Тогда на маленький квадрат есть 
расстановок.
Всего для этой возможности есть 
вариантов.
2) 4 + 4: в маленький квадрат в большой 
Итого здесь 
вариантов.
Всего расставить ладьи на чёрные клетки, таким образом,
Заметим, что это число можно было получить по-другому. 9 ладей можно поставить на эти квадраты 
а потом, убирая каждую из 9 ладей, получаем те же 
вариантов.
Правила:
1. Число делится на два, если его последняя цифра четная или ноль. В остальных случаях — не делится.
2. На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.
3. Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях — не делится.
4. На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие — не делятся.
Теперь приступим к решению заданий...
На два делятся: 132, 578, 2020, 2700, 364— все числа.
На три делятся: 132 (1+3+2=6, а 6 делится на 3); 2700(2+7+0+0=9, 9 делится на 3).
На 4 делятся: 132(32÷4=8); 2020(20÷4=5); 2700(два нуля); 364(64÷4=16).
На 5 делятся: 2020(0 в конце); 2700(0 в конце).
Таким образом, получаем ответы:
1) Одновременно на 3 и 2 делятся числа 132 и 2700.
2) Одновременно на 3 и 4 делятся числа 132 и 2700.
3) На два делятся все числа: 132, 578, 2020, 2700, 364.
4) На 5 делятся числа 2020 и 2700.