Question

Длина диагонали прямоугольника равна 13, а его площадь 60. найдите стороны прямоугольника

Answer 1

Обозначим длину прямоугольника как а, ширину прямоугольника как b, и диагональ как c.

Рассмотрим ΔABC: ∠B=90° ⇒ ΔABC - прямоугольный; a,b - катеты, c - гипотенуза

т. Пифагора гласит:

a² + b² = c²

a² + b² = 13²

a² + b² = 169

А площадь прямоугольника находится по формуле:

S = a * b

a * b = 60

Составим систему уравнений и решим методом подстановки.

$\left \{ {{a^2+b^2=169} \atop {ab=60}} \right. \Longrightarrow \left \{ {{a^2+b^2=169} \atop {a=\frac{60}{b}}} \right.$

$(\frac{60}{b})^2+b^2=169\\\\\frac{3600}{b^2}+b^2=169|*b^2\\\\3600+b^4=169b^2\\b^4-169b^2+3600=0$

Вводим новую переменную.

b² = t - новая переменная.

$t^2-169t+3600=0\\D=(-169)^2-4*1*3600=28561-14400=14161\\\sqrt{14161}=119\\\\t_1=\frac{169-119}{2}=25\\\\t_2=\frac{169+119}{2}=144$

b² = t

b² = 25 или b² = 144

b₁ = 5; b₂=-5; b₃=12; b₄=-12

Т.к. сторона не может быть отрицательна, то -5 и -12 не подходят.

a * b = 60

a₁ * 5 = 60

a₁ = 12

a₂ * 12 = 60

a₂ = 5

⇒ Стороны прямоугольника равны 5 см и 12 см.

ответ: 5 см; 12 см

Answer 2

5 и 12

Пошаговое объяснение:

Пусть стороны прямоугольника a и b, диагональ d. Площадь прямоугольника равна: S = a · b. По условию a · b = 60, а диагональ d = 13.

Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника и поэтому верна теорема Пифагора: d² = a² + b².

На основе условий задачи получаем систему уравнений:

$\left \{ {a^{2} +b^{2} =13^{2} } \atop {a*b=60}} \right.$

Второе уравнение умножим на 2 и прибавим к первому:

$\left \{ {a^{2} +2*a*b+b^{2} =169+120 } \atop {a*b=60}} \right.\\\\\left \{ {(a+b)^{2} =289 } \atop {a*b=60}} \\$

a и b стороны прямоугольника и поэтому a+b>0:

$\left \{ {a+b =17 } \atop {a*b=60}}$

Решаем систему методом  подстановки:

$\left \{ {b =17-a } \atop {a*(17-a)=60}}$

a²-17·a+60=0

D=(-17)²-4·1·60=259-240=49=7²

a₁=(17-7)/2=10/2=5, тогда b₁ =17-5=12

a₂=(17+7)/2=24/2=12, тогда b₂ =17-12=5.

Отсюда, ответом будут 5 и 12.