Question

Найти 4/5*7+4/7*9+4/9*11+4/11*13++/59*61

Answer 1

Найдем сумму рекуррентным пусть $n=5\\ \frac{4}{n(n+2)}+\frac{4}{(n+2)(n+4)}+\frac{4}{(n+4)(n+6)}+\frac{4}{(n+6)(n+8)}....$
Теперь посмотрим что будет если просуммировать каждую часть отдельно 
$\frac{4}{n(n+2)}+\frac{4}{(n+2)(n+4)} =\frac{8}{n^2+4n}\\ \frac{4}{n(n+2)}+\frac{4}{(n+2)(n+4)}+\frac{4}{(n+4)(n+6)}=\frac{12}{n^2+6n}\\ \frac{4}{n(n+2)}+\frac{4}{(n+2)(n+4)}+\frac{4}{(n+4)(n+6)}+\frac{4}{(n+6)(n+8)} = \frac{16}{n^2+8n}\\$
Тогда наша сумма будет равна 
$\frac{112}{n^2+56n}=\frac{112}{25+56*5}=\frac{112}{305}$