Question

Дифференциальное уравнение. Решить под номером 1.6

Answer 1

$y'' = \frac{1}{1 + {x}^{2} } \\ y'= \int\limits\frac{dx}{1 + {x}^{2} } = arctgx + C_1 \\ \\ y = \int\limits(arctgx + C_1)dx = \\ = \int\limits \: arctgxdx +\int\limits C_1dx \\ \\ \\ \int\limits \: arctgxdx \\ \\ u = arctgx \: \: \: \: du = \frac{dx}{1 + {x}^{2} } \\ dv = dx \: \: \: v = x \\ \\ \\ xarctgx - \int\limits \frac{xdx}{1 + {x}^{2} } = \\ = xarctgx - \frac{1}{2} \int\limits \frac{2xdx}{1 + {x}^{2} } = \\ = xarctgx - \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(1 + {x}^{2}) }{1 + {x}^{2} } = \\ = xarctgx - \frac{1}{2} ln( | {x}^{2} + 1 | ) + C \\ \\ \\ y = xarctgx - \frac{1}{2} ln( | {x}^{2} + 1| ) + C_1x + C_2$

- общее решение

$y(0) = 0,y'(0) = 0$

$0 = arctg0 + C_1 \\ 0 = 0 - \frac{1}{2} ln(1) + 0 + C_2 \\ \\ C_1 = 0 \\ C_2 = 0$

$y = xarctgx - \frac{1}{2} ln( | {x}^{2} + 1 | ) \\$

- частное решение

В точке:

$x_0 = 1$

$y(1) = 1arctg1 - \frac{1}{2} ln(2) = \frac{\pi}{4} - \frac{ ln(2) }{2} = 0.44 \\$

(округленное значение)

ответ: 0,44