Question

Найдите наименьшее значение функции f(x)= 3 (1-0,2x)^5 - 0,2 (1-0,2x)^3 при |x-7,5| _<2,5

Answer 1

Пошаговое объяснение:

сначала найдем промежуток из условия |x-7.5| ≤ 2.5

$\displaystyle \left \{ {{x-7.5\leq 2.5} \atop {-(x-7.5)\leq 2.5}} \right. \left \{ {{x\leq 10} \atop {x\geq \leq 5}} \right. \quad \Rightarrow x \in [5;10]$

итак, мы имеем задачу

Найдите наименьшее значение функции f(x)= 3 (1-0,2x)⁵ - 0,2 (1-0,2x)³ на отрезке [5; 10]

первая производная функции

$\displaystyle f'(x) = 3*5(1-0.2x1)^4-0.2*3(1-0.2x)^2=(1-0.2x)^2 (15(1-0.2x)^2-0.6)$

$\displaystyle (1-0.2x)^2 (15(1-0.2x)^2-0.6)=0$

$\displaystyle (1-0.2x)^2=0;\qquad (15(1-0.2x)^2-0.6)=0$

x1 = 5,  x2 = 4,  x3 = 6 - это критические точки. точка x2 = 4 не входит в указанный в условии итервал. ее не трогаем

находим значение f(x) в оставшихся критических точках и на концах отрезка

f(5) = 0

f(6) = 0.0006

f(10) = -2.8

ответ

$\displaystyle f_{min} =f(10)= -2.8$    достигается на конце отрезка х0 = 10