Question

Первый игрок бросает кубик 6 раз, какова вероятность того, что хотя бы один раз выпадет единица. Второй игрок бросает кубик 12 раз, какова вероятность того что выпадет хотя бы два раза единица. Какой игрок вероятнее всего победит?

Answer 1

Повторные испытания с двумя исходами.

В одном испытании

p=1/2

q=1-p=1/2

Вероятность того в серии из 6 испытаний хотя бы один раз выпадет единица равна сумме:

$P_{6}(1)+P_{6}(2)+P_{6}(3)+P_{6}(4)+P_{6}(5)+P_{6}(6)$

т.е  выпадет 1 раз или два раза или три раза или четыре раза или пять раз или 6 раз

Так как

$P_{6}(0)+P_{6}(1)+P_{6}(2)+P_{6}(3)+P_{6}(4)+P_{6}(5)+P_{6}(6)=1$, то

$P_{6}(1)+P_{6}(2)+P_{6}(3)+P_{6}(4)+P_{6}(5)+P_{6}(6)=1-P_{6}(0)$

По формуле Бернулли:

$P_{6}(0)=C^{0}_{6}(\frac{1}{2})^{0}\cdot (\frac{1}{2})^{6}=\frac{1}{64}$

$P_{6}(1)+P_{6}(2)+P_{6}(3)+P_{6}(4)+P_{6}(5)+P_{6}(6)=1-\frac{1}{64}=\frac{63}{64}$

Вероятность того в серии из 12 испытаний хотя бы два раз выпадет единица равна сумме:

$P_{12}(2)+P_{12}(3)+...+P_{12}(11)+P_{12}(12)$

Аналогично

$P_{12}(2)+P_{12}(3)+...+P_{12}(11)+P_{12}(12)=1-P_{12}(0)-P_{12}(1)=1-(\frac{1}{2})^{12}-66\cdot (\frac{1}{2})^{12}=1-\frac{67}{2^{12}}$

$1-\frac{1}{64}=1- \frac{64}{2^{12}} 1-\frac{67}{2^{12}}$

О т в е т. Первый