Question

Найти границу последовательности
Возможно как-то применяя интеграл

Answer 1

$\dfrac{1}{2}$

Пошаговое объяснение:

$$a_n=n*\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(n+k)^2}=\dfrac{1}{n}*\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{n^2}{(n+k)^2}=\dfrac{1}{n}*\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(1+\frac{k}{n})^2}=\dfrac{1}{n}*\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(1+x_k)^2}$, где $x_k=\dfrac{k}{n},k=\overline{0,n}$. Отметим, что $\Delta x=x_k-x_{k-1}=\dfrac{1}{n},k=\overline{1,n}$, при этом $0=x_0$.

То есть $x_k$ - узлы разбиения отрезка $[0;1]$ на равные отрезки длины $\dfrac{1}{n}$.

Тогда $a_n$ можно записать в виде

$$a_n=\sum\limits_{k=1}^n\Delta x*f(x_k)$, где $f(x)=\dfrac{1}{(1+x)^2}$ .

Тогда $a_n$ - интегральная сумма функции $f(x)$ на разбиении отрезка $[0;1]$.

Значит, $$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\int\limits_0^1\dfrac{1}{(1+x)^2}dx=\left(-\dfrac{1}{1+x}\right)\Big |_0^1=-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}$.