Question

Решите однородное тригонометрическое уравнение.
Буду очень благодарен.

Answer 1

3 sin^2 x - sin x cos x = 2

3 sin^2 x - sin x cos x = 2 (sin^2 x + cos^2 x)

sin^2 x - sin x cos x - 2 cos^2 x = 0

Уравнение однородное 2 степени. Разделим его на cos^2 x

tg^2 x - tg x - 2 = 0  

tg x = y

y^2 - y - 2 = 0

D = 9 > 0

y = (1 + 3) / 2 = 2 или y = (1 - 3) / 2= -1

tg x = 2 => x = arctg 2 + πn,n∈Z

tg x = -1 => x = - π / 4 + πk,k∈Z

Answer 2

$3sin^2x-sinxcos=2\\3sin^2x-sinxcosx=2(sin^2x+cos^2x)\\3sin^2x-2sin^2x-2cos^2x-sinxcosx=0\\sin^2x-2cos^2x-sinxcosx=0$

Перед нами однородное уравнение. Докажем, что $sin^2x=1 ; cos^2x=0$ (По ОТТ) не подходят:

$1-2*0-(+-1*0)=0$

1 ≠ 0

Значит мы свободно можем поделить обе части уравнения на $cos^2x$:

$tg^2x-2-tgx=0\\tg^2x-tgx-2=0\\tgx=a\\a^2-a-2=0\\a_1=2; a_2=-1\\1)tgx=2\\x=arctg2+\pi n$; n ∈ Z

$2)tgx=-1\\x=arctg(-1)+\pi n=-arctg1+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n$ ; n ∈ Z