Question

4. Знайти найбільше та найменше значення функцiï у = х^3 – 10х^2 + 12х – 5 на відрізку [1; 7].

Answer 1

ответ:          max y(x) = - 2 ;                    min y(x) = - 77 .

                    [ 1 ; 7]                                  [ 1 ; 7]

Пошаговое объяснение:

5555555555kjj  uii9000iiiuiiyuh

у = х³ – 10x²+ 12х – 5 на відрізку [1; 7].

y' = ( х³ – 10x²+ 12х – 5 )' = 3x²- 20x + 12 = 3 ( x - 2/3 )( x - 6 ) .

y' = 0 ;   3 ( x - 2/3 )( x - 6 ) = 0 ;     x₁ = 2/3 ∉[1; 7] ;    x₂ = 6 ;

y( 1 ) = 1³ - 10* 1² + 12*1 - 5 = - 2 ;

y ( 6 ) = 6³ - 10*6² + 12*6 - 5 = - 77 ;

y ( 7 ) = 7³ - 10*7² + 12*7 - 5 = - 68 ;

max y(x) = - 2 ;                    min y(x) = - 77 .

[ 1 ; 7]                                  [ 1 ; 7]

Answer 2

$y = x^3 - 10x^2 + 12x - 5$

Обчислимо похідну:

$y' = 3x^2 - 20x + 12$

Знайдемо критичні точки функції, прирівнявши похідну до нуля:

$3x^2 -20x+12=0\\D=(-20)^2-4\cdot 3 \cdot 12 = 400 - 144 = 256 = 16^2\\x_1 = \frac{20+16}{6} = \frac{36}{6} = 6\\x_2 = \frac{20-16}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Проміжку $[1;7]$ належить тільки точка $x=6$.

Обчислимо значення функції на кінцях проміжку, а також в знайденій критичній точці, і виберемо серед них найбільше та найменше значення.

$y(1)=1^3-10\cdot 1^2+12\cdot1-5=-2\\y(6)=6^3-10\cdot 6^2+12\cdot6-5=-77\\y(7)=7^3-10\cdot 7^2+12\cdot7-5=-68$

$min=-77, max=-2$