Question

Компания-изготовитель планирует открыть новый завод по выпуску смартфонов. Перед производителем стоит выбор: запускать в производство либо модель «А», либо модель «В» (совместное производство обеих моделей на данном заводе невозможно). Согласно расчетам, затраты на производство модели «А» составят $30 за единицу, а на производство модели «В» - $50 за ед. Максимально возможное количество смартфонов, которое завод может произвести в месяц, составляет 10 000 ед. Все произведенные смартфоны поступают в продажу. Исследование показало, что количество проданных смартфонов зависит от их конечной цены при продаже и описывается уравнениями: - для модели «А»: m1 = 10 000 - 50x1
- для модели «В»: m2 = 10 000 - 40x2
где m1 и m2 - количество проданных смартфонов в месяц моделей «А» и «В» соответственно,
а x1 и x2 – их цены за 1 ед. при продаже.
Определите, какую из моделей выгоднее производить, а также какую цену за 1 ед. следует установить при продаже, чтобы обеспечить наибольшую ежемесячную прибыль?

Answer 1

Модель B, 4000 штук в месяц по 150 $

Пошаговое объяснение:

Прибыль от продажи 1 смартфона модели A равна x1 - 30 $.

Прибыль от продажи 1 смартфона модели B равна x2 - 50 $.

Если за месяц будет продано m1 смартфонов модели A, то прибыль:

P1 = m1*(x1 - 30) = (10000 - 50x1)(x1 - 30) = -50*x1^2 + 11500*x1 - 300000

Максимум прибыли будет, когда производная равна 0.

P1 ' = -100*x1 + 11500 = 0

x1 = 11500/100 = 115 $ оптимальная цена модели A.

Продавать нужно по

m1 = 10000 - 50*x1 = 10000 - 50*115 = 4250 штук в месяц.

При этом прибыль составит:

P1 = 4250*(115 - 30) = 4250*85 = 361250 $.

Тоже самое с моделью B.

P2 = m2*(x2 - 50) = (10000 - 40x2)(x2 - 50) = -40*x2^2 + 12000*x2 - 500000

P2 ' = -80*x2 + 12000 = 0

x2 = 12000/80 = 150 $ оптимальная цена смартфона модели B.

Продавать нужно по

m2 = 10000 - 40*x2 = 10000 - 40*150 = 4000 штук в месяц.

Прибыль составит

P2 = 4000*(150 - 50) = 4000*100 = 400000 $.

Прибыль от продажи модели B больше, если продавать по 4000 моделей в месяц ценой по 150 $.