Question

Задача 1 Для определения средней стоимости покупки случайная выборка 60 кассовых чеков, по которым средняя сумма покупки оказалась равной 200 рублям со стандартным отклонением 70 рублей.

Необходимо с вероятностью P=0,683 определить предельную ошибку выборочной средней и доверительные пределы средней стоимости покупки.

Задача 2

Среди выборочно обследованных 25 студентов в техникуме с общей численностью студентов 1500, иногородних оказалось 6.

Требуется с вероятностью 0,954 определить долю иногородних студентов во всем техникуме.​

Answer 1

Задача 1: Для определения предельной ошибки выборочного среднего и доверительных пределов средней стоимости покупки, мы будем использовать метод доверительного интервала. 1) Предельная ошибка выборочного среднего (ε) определяется по формуле: ε = t * (σ / √n), где t - критическое значение стандартного нормального распределения для заданной вероятности (P), σ - стандартное отклонение выборки, n - размер выборки. В нашем случае, t можно определить, используя таблицу значений для стандартного нормального распределения. Так как P = 0,683, то центральная область нормального распределения будет составлять (1 - 0,683) / 2 = 0,1585. Найдем соответствующее значение z в таблице, которое будет равно примерно 1,00. Подставим значения в формулу: ε = 1,00 * (70 / √60) = 9,04 Таким образом, предельная ошибка выборочного среднего составляет около 9,04 рублей. 2) Доверительные пределы средней стоимости покупки определяются по формуле: CI = x̄ ± ε, где СI - доверительный интервал, x̄ - выборочное среднее, ε - предельная ошибка выборочного среднего. Подставим значения в формулу: CI = 200 ± 9,04 = (190,96; 209,04) Таким образом, с вероятностью P=0,683 средняя стоимость покупки будет находиться в интервале от 190,96 до 209,04 рублей. Задача 2: Для определения доли иногородних студентов во всем техникуме с вероятностью P=0,954, мы также будем использовать метод доверительного интервала. 1) Доля (p) определяется по формуле: p = x / n, где x - количество иногородних студентов, n - общая численность студентов. В нашем случае, x = 6, n = 1500, поэтому: p = 6 / 1500 = 0,004. 2) Предельная ошибка доли (ε) определяется по формуле: ε = z * √(p * (1 - p) / n), где z - критическое значение стандартного нормального распределения для заданной вероятности (P), p - доля, n - общая численность. В нашем случае, z можно определить, используя таблицу значений для стандартного нормального распределения. Так как P = 0,954, то центральная область нормального распределения будет составлять (1 - 0,954) / 2 = 0,023. Найдем соответствующее значение z в таблице, которое будет равно примерно 1,96. Подставим значения в формулу: ε = 1,96 * √(0,004 * (1 - 0,004) / 1500) = 0,006. Таким образом, предельная ошибка доли составляет около 0,006. 3) Доверительные пределы доли определяются по формуле: CI = p ± ε, где СI - доверительный интервал, p - доля, ε - предельная ошибка. Подставим значения в формулу: CI = 0,004 ± 0,006 = (-0,002; 0,010) Обратите внимание, что нижний предел доверительного интервала отрицательный. Так как доля не может быть отрицательной, нижний предел принимается равным нулю. Таким образом, с вероятностью P=0,954 доля иногородних студентов во всем техникуме составляет от 0 до 1% (включительно).