Question

Основные тригонометрические тождества 11 класс.

Answer 1

1.

$\sin( \alpha ) = \frac{3}{5} \\$

угол принадлежит 2 четверти

$\cos( \alpha ), tg( \alpha ),ctg( \alpha ) < 0$

$\cos( \alpha ) = - \sqrt{1 - \sin {}^{2} ( \alpha ) } = \\ = - \sqrt{1 - \frac{9}{25} } = - \sqrt{ \frac{16}{25} } = - \frac{4}{5}$

$tg (\alpha ) = \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } = \frac{3}{5} \times ( - \frac{5}{4} ) = - \frac{3}{4} \\ \\ ctg (\alpha ) = \frac{1}{tg( \alpha )} = - \frac{4}{3}$

2.

$tg \alpha = - \frac{3}{4} \\ \\ \sin( \alpha ) 0 \\ \cos( \alpha ), ctg\alpha < 0$

$1 + {tg}^{2} \alpha = \frac{1}{ \cos {}^{2} ( \alpha ) } \\ \cos( \alpha ) = - \sqrt{ \frac{1}{1 + {tg}^{2} \alpha } } = - \sqrt{ \frac{1}{1 + \frac{9}{16} } } = \\ = - \sqrt{ \frac{16}{25} } = - \frac{4}{5} \\ \\ \sin( \alpha ) = \sqrt{1 - \cos {}^{2} ( \alpha ) } = \sqrt{1 - \frac{16}{25} } = \frac{3}{5} \\ \\ ctg \alpha = - \frac{4}{3}$

3.

а

$\sin {}^{4} ( \alpha ) + \cos {}^{4} ( \alpha ) + 2 \sin {}^{2} ( \alpha ) \cos {}^{2} ( \alpha ) = \\ = ( \sin {}^{2} ( \alpha )) {}^{2} + 2 \sin {}^{2} ( \alpha ) \cos {}^{2} ( \alpha ) + {( \cos {}^{2} ( \alpha )) }^{2} = \\ = ( \sin {}^{2} ( \alpha ) + \cos {}^{2} ( \alpha )) {}^{2} = 1$

б

$\sin( \alpha ) ctg \alpha + \cos( \alpha ) = \sin( \alpha ) \times \frac{ \cos( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) } + \cos( \alpha ) = \\ = \cos( \alpha ) + \cos( \alpha ) = 2 \cos( \alpha )$

в

$(\sin( \alpha ) + \cos( \alpha )) {}^{2} + ( \sin( \alpha ) + \cos( \alpha )) {}^{2} = \\ = 2( \sin( \alpha ) + \cos( \alpha )) {}^{2} = 2( \sin {}^{2} ( \alpha ) + 2 \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) \cos {}^{2} ( \alpha )) = \\ = 2(1 + \sin( 2\alpha ) ) = 2 + 2 \sin( 2\alpha )$

4.

$ctg {}^{2} \alpha - \cos {}^{2} ( \alpha ) = \frac{ \cos {}^{2} ( \alpha ) }{ \sin {}^{2} ( \alpha ) } - \cos {}^{2} ( \alpha ) = \\ = \frac{ \cos {}^{2} ( \alpha ) - \sin {}^{2} ( \alpha ) \cos {}^{2} ( \alpha ) }{ \sin {}^{2} ( \alpha ) } = \frac{ \cos {}^{2} ( \alpha ) (1 - \sin {}^{2} ( \alpha ) )}{ \sin {}^{2} ( \alpha ) } = \\ = \frac{ \cos {}^{4} ( \alpha ) }{ \sin {}^{2} ( \alpha ) } = {ctg}^{2} \alpha \times \cos {}^{2} ( \alpha )$

5.

В связи между тангенс и котангенсом обратная пропорциональность.

$tg \alpha = - \frac{3}{5} \\ ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha } = \frac{1}{ - \frac{3}{5} } = - \frac{5}{3} \\ \\ ctg \alpha = - \frac{3}{5} \\ tg \alpha = \frac{1}{ - \frac{3}{5} } = - \frac{5}{3}$

Обе функции отрицательны, значит принадлежат 2 или 4 четверти.

ответ: да, могут