Question

решить четыре неравенства с подробным объяснением)

Answer 1

1.  2|x - 1| + x = 5

1) Найдем х (критическое значение х), при котором модуль = 0:

х - 1 = 0  → х = 1

2) При x > 1    

   2(x - 1)+ x = 5     →   {2x-2+x = 5   →   {3x= 7   →   x = 7/3

3) При x < 1    

   2 [-(x - 1)] + x = 5   →   -2x + 2 + x = 5 →    - x = 3 →   x = - 3

Проверка:

1) x = 7/3 = 2⅓

 2|7/3 - 1| + 7/3 = 2*4/3 + 7/3 = 8/3 + 7/3 = 15/3 = 5

2) x = - 3

   2|-3 - 1| -3 = 8 - 3 = 5

ответ: х₁ = 7/3 (или 2⅓),   х₂ = - 3

2.

х² - 5х +4 < 0

х² - 4х - х + 4 < 0

x(x - 4) - (x + 4)  < 0

(x - 1)(x + 4)  < 0

x₁ = 1,    x₂ = - 4

1) {x < 1

  {x > -4  

 -4 < x < 1

2) {x > 1

   {x < - 4  

общего решения не имеет

ответ: -4 < x < 1

3.

|x| - 2х  - 2  ≤ 0

Найдем х, при котором модуль = 0:

х =0

1) При х > 0

x - 2x - 2 ≤  0 →    - x ≤ 2  → x ≤ - 2

{x > 0

{x ≤ - 2   общего решения нет

2) При x < 0

-x - 2x - 2 ≤  0   →   -3x ≤ 2  →    x ≥ - 2/3

ответ:  x ≤ -2/3 или [-2/3; +∞)

4. (2x² + 1)/ (x - 1) < x

ОДЗ: х -1 ≠0 → х ≠ 1

[(2x² + 1 )/ ( x - 1)] - x < 0

[(2x² + 1 - x(x - 1)]/(x - 1)\ < 0

(x² + 1 + x)/ (x - 1) < 0

(x² +2*0,5*x + (0,5)² +0,75)/ (x - 1) < 0

[(x + 0,5)² +0,75] / (x - 1) < 0

Числитель (x + 0,5)² +0,75 > 0 всегда, т.к. квадрат числа > 0 и 0,75 >0.

Значит, дробь будет < 0, если знаменатель < 0^

x - 1 < 0

x < 1

ответ: (-∞; 1)