Question

Кто может объяснить, как решить?

Answer 1

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Приведу несколько идей к решению:

1:

Когда видишь только буквы a (параметр) и x (переменная), то выгодно использовать достаточно универсальный прием: методику построения в координатах (x; a) /или/ (a; x). Тогда у тебя получатся парабола и прямая, склеивающиеся в общих точках (см. прикрепленный файл; построение в координатах (x; a); прямая выделена зеленым; парабола оранжевым). Теперь просто двигаешь горизонтальную прямую вверх и вниз и смотришь пересечения. Единственное решение достигается при $a=-\dfrac{57}{16}$; решений нет при $a$.

2:

Другим хорошим может стать построение левой и правой частей уравнения по-отдельности. Для левой части строим параболу $2x^2-3x-2$ и симметрично отражаем все, что под осью x. Для правой части будет парабола, которая бегает вверх или вниз в зависимости от значения параметра. Единственное решение возможно, только когда $a-2x^2-8x$ касается $|2x^2-3x-2|$, откуда $a=-\dfrac{57}{16}$. Здесь стоит остановиться на том, как считать a: $2x^2-3x-2=a-2x^2-8x$ (обратите внимание, что здесь можно не писать модуль) $4x^2+5x-(2+a)=0$. Берем дискриминант и приравниваем к нулю: $25+16(2+a)=0$. Откуда получаем требуемое значение. Если $a$, то решений нет.

3:

Пусть $f(x)=|2x^2-3x-2|+2x^2+8x-a$. Тогда:$f'(x)=(4x-3)\times\dfrac{2x^{2}-3x-2}{\left|2x^{2}-3x-2\right|}+4x+8$. Решив $f'(x)=0$,  получаем, что $x=-\dfrac{5}{8}$. Просчитав знаки, делаем вывод, что функция убывает до $x=-\dfrac{5}{8}$, а затем возрастает при любом значении параметра. Тогда достаточно решить $f\left(-\dfrac{5}{8}\right)=0$, откуда $a=-\dfrac{57}{16}$. Таким пользоваться не рекомендую.

Задание выполнено!