Question

найдите корни уравнения
(х⁴+1)/(х(х²+1))=41/15​

Answer 1

$\frac{x^4+1}{x(x^2+1)}=\frac{41}{15};$ ОДЗ: $x\not= 0;$

делим числитель и знаменатель левой части на $x^2;$

$\frac{x^2+\frac{1}{x^2}}{x+\frac{1}{x}}=\frac{41}{15};\ 15((x+\frac{1}{x})^2-2)=41(x+\frac{1}{x});\ x+\frac{1}{x}=t;\ 15t^2-30=41t;$

$15t^2-41t-30=0;\ \left [ {{t=10/3} \atop {t=-3/5}} \right. .$

1-й случай. $x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3};$$\left [ {{x=3} \atop {x=1/3}} \right. .$

2-й случай. $x+\frac{1}{x}=-\frac{3}{5}$ - здесь решений нет, так как $|x+\frac{1}{x}|\ge 2.$

ответ:  3;   1/3.

Замечание. В первом случае я уравнение не решал, а просто угадал ответ - ведь 10/3=3+1/3. Других решений быть не может, так как после избавления от знаменателя получается квадратное уравнение, которое больше двух решений иметь не может. Во втором случае, если у Вас сложности с неравенством Коши между средним арифметическим и средним геометрическим, можете спокойно свести все к квадратному уравнению и убедиться в отрицательности дискриминанта.