Question

Дифференциальное уравнение
решить

Answer 1

$2y''-e^{4y}=0\ \ ,\ \ \ y(0)=0\ ,\ y'(0)=\dfrac{1}{2}\\\\y''=\dfrac{1}{2}\, e^{4y}\\\\y'=p(y)\ \,\ \ y''=p\cdot \dfrac{dp}{dy}\\\\\displaystyle p\cdot \frac{dp}{dy}=\frac{1}{2}\, e^{4y}\ \ ,\ \ \ \int p\, dp=\frac{1}{2}\int e^{4y}\, dy\ \ ,\ \ \frac{p^2}{2}=\frac{1}{2}\cdot \Big(\frac{e^{4y}}{4}+\frac{C_1}{4}\Big)\ \ ,\\\\\\p^2=\frac{e^{4x}}{4}+\frac{C_1}{4}\ \ ,\ \ \ p^2=\frac{1}{4}\cdot (e^{4x}+C_1)\ \ ,\ \ p=\pm \frac{1}{2}\sqrt{e^{4x}+C_1}\ \ ,$

$\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}=\pm\frac{1}{2}\sqrt{e^{4y}+C_1}\ \ ,\ \ \ \ \int \frac{2dy}{\sqrt{e^{4y}+C_1}}=\pm \int dx\\\\\\\star \int \frac{2dy}{\sqrt{e^{4y}+C_1}}=\Big[\ t^2=e^{4y}+C_1\ \ ,\ \ e^{4y}=t^2-C_1\ \ ,\ \ 4y=ln(t^2-C_1)\ ,\\\\\\y=\frac{1}{4}\, ln(t^2-C_1)\ \ ,\ \ dy=\frac{\, dt}{2\, (t^2-C_1)}\ \Big]=\int \frac{2t\, dt}{2\, t\, (t^2-C_1)}=\int \frac{dt}{t^2-C_1}=$

$\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{C_1}}\cdot ln\, \Big|\frac{t-\sqrt{C_1}}{t+\sqrt{C_1}}\, \Big|+C_2=\dfrac{1}{2\sqrt{C_1}}\cdot ln\Big|\, \frac{\sqrt{e^{4y}+C_1}-\sqrt{C_1}}{\sqrt{e^{4y}+C_1}+\sqrt{C_1}}\, \Big|+C_2\ \ \star$

$\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{C_1}}\cdot ln\, \Big|\frac{\sqrt{e^{4y}+C_1}-\sqrt{C_1}}{\sqrt{e^{4y}+C_1}+\sqrt{C_1}}\, \Big|+C_2=\pm \, x$   общий интеграл

Частное решение найти , имея такое общее решение, сложнее, чем найти это общее решение. Там надо сложную систему уравнений решать . Поэтому, я думаю, что описка в условии. Смотри ниже .

$2)\ \ 2y''-e^{4x}=0\ \ ,\ \ \ y(0)=0\ ,\ y'(0)=\dfrac{1}{2}\\\\y''=\dfrac{1}{2}\, e^{4x}\\\\\displaystyle y'=\int \frac{1}{2}\, e^{4x}\, dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}\, e^{4x}+C_1=\frac{1}{8}\, e^{4x}+C_1\\\\{}\ \ \ y'(0)=\frac{1}{2}:\ \ \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\, e^0+C_1\ \ ,\ \ C_1=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\\\\\\y=\int \Big(\frac{1}{8}\, e^{4x}+C_1\Big)\, dx=\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{4}\, e^{4x}+C_1x+C_2=\frac{1}{32}\, e^{4x}+C_1x+C_2$

${}\ \ \ y(0)=0:\ \ 0=\dfrac{1}{32}\cdot e^0+\dfrac{3}{8}\cdot 0+C_2\ \ ,\ \ C_2=-\dfrac{1}{32}\\\\\\\boxed{\ y_{chastnoe}=\dfrac{1}{32}\, e^{4x}+\dfrac{3}{8}\, x-\dfrac{1}{32}\ }$