Question

Найти потенциал векторного поля и работу силы по перемещению из точки в точку

Answer 1

Исходя из контекста следует, что поле потенциальное, оно же безвихревое (то есть его ротор равен нулю). Желающие могут это проверить, мы же не будем тратить время - ведь если мы найдем потенциал поля, мы тем самым докажем, что поле потенциально.

Угадать потенциал в этой задаче очень просто, если проанализировать координаты F - ведь они являются частными производными потенциала.

$\phi'_x=y\cos(xy)$ говорит о том, что в потенциал в качестве слагаемого входит sin(xy). Вторая координата поля F это подтверждает. Далее, второе слагаемое второй координаты и третья координата поля F говорят о наличии в потенциале слагаемого z²sin y.

Гипотеза: $\phi=\sin(xy)+z^2\sin y.$ Посчитав частные производные этой функции, убеждаемся, что $\bar F=grad\, \phi=\{\phi'_x;\phi'_y;\phi'_z\}.$ Кстати, иногда - в случае силового поля - вместо функции $\phi$ рассматривают функцию

$U=-\phi,$ но это уж дело вкуса. Для потенциального поля работа силы в случае односвязной области (а наше поле потенциально во всем пространстве) не зависит от пути интегрирования, а только от начальной и конечной точки, и эта работа может быть найдена по формуле $\phi(B)-\phi(A)=\sin(2\cdot (-\frac{\pi}{2}))+2^2\cdot \sin(-\frac{\pi}{2})-\sin(0\cdot \frac{\pi}{2})-1^2\cdot \sin\frac{\pi}{2} =-5.$