Question

13-ое задание из профиля ЕГЭ. Решите ! Мне важен ответ.

Answer 1

а) $\pi k, -\dfrac{\pi}{4}+2\pi k, -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k, k\in\mathbb{Z}$

б) $\dfrac{7\pi}{4}, 2\pi, 3\pi$

Пошаговое объяснение:

а)

$2\sin^3{x}+\sin{x}+\sqrt{2}-\sqrt{2}\cos{2x}=0\\2\sin^3{x}+\sin{x}+\sqrt{2}-\sqrt{2}(1-2\sin^2{x})=0\\2\sin^3{x}+\sin{x}+\sqrt{2}-\sqrt{2}+2\sqrt{2}\sin^2{x}=0\\2\sin^3{x}+2\sqrt{2}\sin^2{x}+\sin{x}=0\\\sin{x}(2\sin^2{x}+2\sqrt{2}\sin{x}+1)=0\\\sin{x}(\sqrt{2}\sin{x}+1)^2=0$

$\sin{x}=0\\x=\pi k, k\in\mathbb{Z}$ или $(\sqrt{2}\sin{x}+1)^2=0\\\sqrt{2}\sin{x}+1=0\\\sin{x}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k, -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k, k\in\mathbb{Z}$

б) Отберём корни с тригонометрической окружности (см. рис.)

Подходят корни $\dfrac{7\pi}{4}, 2\pi, 3\pi$

Answer 2

а)

$x = \pi n$

$x = {( - 1)}^{n + 1} \times \frac{\pi}{4} + \pi n$

n∈Z

б)

$\frac{7\pi}{4} ,2\pi,3\pi$

Пояснение:

№13(а)

$2 {sin}^{3} (x) + \sin(x) + \sqrt{2} = \sqrt{2} \cos(2x)$

$2 {sin}^{3} (x) + \sin(x) + \sqrt{2} - \sqrt{2} \times(1 - 2 {sin}^{2} (x) )= 0$

$2 {sin}^{3} (x) + \sin(x) + \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} {sin}^{2} (x)= 0$

$2 {sin}^{3} (x) + 2 \sqrt{2} {sin}^{2} (x) + \sin(x)= 0$

$\sin(x) \times (2 {sin}^{2} (x) + 2 \sqrt{2} sin (x) +1)= 0$

$\sin(x) \times {( \sqrt{2} \sin(x) + 1)}^{2} = 0$

Произведение равно нулю,когда хотя бы один из множителей равен нулю

1)

$\sin(x) = 0$

$x = \pi n$

n∈Z

2)

${( \sqrt{2} \sin(x) + 1) }^{2} = 0$

$\sqrt{2} \sin(x) + 1= 0$

$\sin(x) = - \frac{1}{ \sqrt{2} }$

$\sin(x) = - \frac{ \sqrt{2} }{ 2 }$

$x = {( - 1)}^{n + 1} \times \frac{\pi}{4} + \pi n$

n∈Z

б) Найдем корни уравнения,принадлежащие отрезку [3п/2;3п], с тригонометрической окружности(см. вложение)

$x_{1} = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$

$x_{2} = 2\pi$

$x_{ 3} = 3\pi$