Question

Найдите площадь четырехугльника, вершины которого имеют координаты (5:1), (7:4), (1:9), (5:8)

Answer 1

S = √741

Пошаговое объяснение:

Обозначим точки: A(5; 1); B(7; 4); C(5; 8); D(1; 9)

Площадь четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1/2*|AC|*|BD|*sin(AC; BD)

Находим длины диагоналей:

|AC| = √((5-5)^2 + (8-1)^2) = √(0^2 + 7^2) = √7^2 = 7

|BD| = √((1-7)^2 + (9-4)^2) = √((-6)^2 + 5^2) = √(36+25) = √61

Находим уравнения прямых, на которых лежат диагонали:

(AC): (x-5)/(5-5) = (y-1)/(8-1)

(x-5)/0 = (y-1)/7

Так как в знаменателе 0, то получается прямая:

(AC): x + 0y = 5

(BD): (x-7)/(1-7) = (y-4)/(9-4)

(x-7)/(-6) = (y-4)/5

5(x-7) = -6(y-4)

5x - 35 + 6y - 24 = 0

(BD): 5x + 6y = 59

Угол между прямыми:

$cos (\alpha) =\frac{X(AC)*X(BD) + Y(AC)*Y(BD)}{|AC|*|BD|} =\frac{1*5+0*6}{7*\sqrt{61} } =\frac{5}{7\sqrt{61} }$

$sin(\alpha ) =\sqrt{1-cos^2(\alpha )} =\sqrt{1-\frac{25}{49*61} } =\sqrt{\frac{2989-25}{2989} } =\frac{\sqrt{2964} }{\sqrt{49*61} } =\frac{\sqrt{2964} }{7\sqrt{61} }$

Площадь четырехугольника:

$S=\frac{1}{2}*|AC|*|BD|*sin(\alpha ) =\frac{1}{2}*7\sqrt{61}*\frac{\sqrt{2964} }{7\sqrt{61} } =\frac{2\sqrt{741} }{2} =\sqrt{741}$