Question

Уважаемые МОЗГи! Задание, достойное Вас Найти общее решение линейного однородного уравнения с пере">

Answer 1

1) $y=C_1cosx+C_2e^x$

2) $y=C_1x^3+C_2e^x$

Пошаговое объяснение:

ЛОДУ 2ого порядка с переменными коэффициентами имеет вид $a_0(x)y''+a_1(x)y'+a_2(x)=0$

Общее решение такого ДУ - линейная комбинация двух его линейно независимых частных решений.

В обоих заданиях необходимо заметить, что сумма коэффициентов $a_i(x)$ равна 0. Значит, очевидно, одним из частных решений данного ДУ будет функция $y_2=e^x$ [и действительно: $y_2''=y_2'=y_2$, а тогда уравнение принимает вид $e^x(a_1(x)+a_2(x)+a_3(x))=0\Rightarrow e^x*0=0$ - верное равенство].

1) Рассмотрим Вронскиан системы $y_1(x),y_2(x)$:

$W(x)=\left|\begin{array}{cc}cos(x)&e^x\\-sin(x)&e^x\end{array}\right|=e^x(cosx+sinx)\not\equiv0$

Значит, данные частные решения линейно независимы - а тогда общее решение имеет вид $y=C_1cosx+C_2e^x$.

2) Очевидно искать частное решение в виде многочлена. Пусть его старший член равен $x^n,n\in N$ [коэффициент при старшей степени не имеет значения, т.к. уравнение однородное], т.е. $y_1(x)=x^n+P_{n-1}(x)$.

Тогда

$(x^2-3x)(n(n-1)x^{n-2}+P''_{n-1}(x))+(6-x^2)(nx^{n-1}+P'_{n-1}(x))+(3x-6)(x^n+P_{n-1}(x))=0\\ x^{n}(n(n-1))+x^2P''_{n-1}(x)-3n(n-1)x^{n-1}-3xP''_{n-1}(x)+6nx^{n-1}+6P'_{n-1}(x)-\\ -nx^{n+1}-x^2P'_{n-1}(x))+3x^{n+1}+3xP_{n-1}(x)-6x^n-6P_{n-1}(x)=0$

То есть коэффициент при старшей степени $x^{n+1}$ получаемого в левой части многочлена равен $3-n$ [степень $P'_{n-1}(x)$ не выше $n-2$, а $P''_{n-1}(x)$ не выше $n-3$]. Но в правой части тождественный ноль - а значит если некий многочлен и является частным решением уравнения, то это многочлен степени 3.

Нетрудной подстановкой $y_1=x^3$ убеждаемся, что это решение ДУ:

$(x^2-3x)6x+(6-x^2)3x^2+(3x-6)x^3=0\Rightarrow 6x^3-18x^2+18x^2-3x^4+3x^4-6x^3=0$ - верное равенство.

$W(x)=\left|\begin{array}{cc}x^3&e^x\\3x^2&e^x\end{array}\right|=e^x(x^3-3x^2)\not\equiv0$

А тогда общее решение имеет вид

$y=C_1x^3+C_2e^x$