Question

Привести к каноническому виду уравнения прямой: {2x-y+2z-3=0
x+2y-z-1=0
можно мне. ​

Answer 1

(x-1,25) / -3 = y / 4 = (z-0,25) / 5

Пошаговое объяснение:

$L:\begin{cases} 2x-y+2z-3=0 \; \; \; (P_1)\\ x+2y-z-1=0 \; \; \; \; \; (P_2)\end{cases} (*)$

Для построения канонического уравнения прямой необходимо и достаточно знать ее направляющий вектор q и какую угодно точку на этой прямой. Искомая прямая L задана как пересечение плоскостей P_1 и P_2, то есть она лежит в обеих плоскостях. Тогда нормальные векторы каждой плоскости, будучи перпендикулярны к "своим" плоскостям, будут перпендикулярны и к любой прямой, лежащей в "своей" плоскости, в том числе и к L. Другими словами, L перпендикулярна нормальному вектору как P_1, так и P_2. А значит, ее направляющий вектор является векторным произведением нормальных векторов P_1 и P_2

Координаты нормального вектора плоскости — коэффициенты при x, y и z в общем уравнении этой плоскости:

$\vec{n_1}=(2;-1;2)\\\vec{n_2}=(1;2;-1)$

Их векторное произведение найдем, вычислив определитель:

$[\vec{n_1}, \vec{n_2}]=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&-1&2\\1&2&-1\end{vmatrix}=\vec{i}\begin{vmatrix} -1&2\\2&-1\end{vmatrix}-\vec{j}\begin{vmatrix} 2&2\\1&-1\end{vmatrix}+\vec{k}\begin{vmatrix} 2&-1\\1&2\end{vmatrix}=\\(-1*(-1)-2*2)\vec{i}-(2*(-1)-1*2)\vec{j}+(2*2-1*(-1))\vec{k}=\\(1-4)\vec{i}-(-2-2)\vec{j}+(4+1)\vec{k}=-3\vec{i}+4\vec{j}+5\vec{k}=(-3;4;5)=\vec{q}$

В качестве точки на L возьмем частное решение системы (*). Пускай y = 0, тогда

$\begin{cases}2x+2z-3=0 \\x-z-1=0 \; | \; *2 \end{cases}\\ \begin{cases}2x+2z-3=0\\2x-2z-2=0 \end{cases} \bigg| \; +\\ \begin{cases} 4x-5=0, \; x=\frac{5}{4} \\z=x-1=\frac{5}{4}-1=\frac{1}{4} \end{cases}$

Получили, что искомой прямой принадлежит точка A(1,25; 0; 0,25)

Осталось "собрать" полученную информацию в каноническое уравнение. Оно имеет вид

$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$,

где A(x_0; y_0; z_0) и q(l; m; n;). Подставим:

$\frac{x-1.25 }{-3} =\frac{y}{4}=\frac{z-0.25}{5}$

— окончательный ответ