Question

Запишите комплексное число в алгебраической и тригонометрической формах $z=\frac{\sqrt{3}+i^{11} }{1-\sqrt{3i} }$

Answer 1

$z=\frac{\sqrt{3}+i^{11}}{1-i\sqrt{3}}=?\\\\i^{11}=i^{10}*i=((i^2)^5)*i=(-1)^5*i=-1*i=-i\\\\\ z=\frac{\sqrt{3}+i^{11}}{1-i\sqrt{3}}= \frac{\sqrt{3}-i}{1-i\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{3}-i)(1+i\sqrt{3})}{(1-i\sqrt{3})(1+i\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{3}-i+i(\sqrt{3})^2-i^2\sqrt{3}}{1^2-(i\sqrt{3})^2}=\frac{\sqrt{3}-i+3i+\sqrt{3}}{1+3}=\\\\=\frac{2\sqrt{3}+2i}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$

Итак, $\\\\z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$ - это  алгебраическая форма комплексного числа.

Теперь найдём его тригонометрическую форму:

$a=\frac{\sqrt{3}}{2};b=\frac{1}{2}\\\\|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{1}=1\\\\(cos\psi=a/|z|= \frac{\sqrt{3}}{2};sin\psi=b/|z|= \frac{1}{2})=\psi=\pi /6\\\\z=|z|(cos\psi+isin\psi)\\\\z=1(cos\pi /6+isin\pi /6)\\\\\ z=cos\pi /6+isin\pi /6}$

Это тригонометрическая форма числа z