Question

Найти общее решение уравнения

$y'''-y'=x^{2} +x$

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Cоставляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r^3 - r = 0

Вынесем r за скобку. Получим:

r(r^2-1) = 0

Здесь r1 = 0. Найдем остальные корни.

r^2 +0 r - 1 = 0

D=02 - 4·1·(-1)=4  

Корни характеристического уравнения:

r1 = -1

r2 = 0

r3 = 1

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y1 = e^(-x)

y2 = e^(0x)

y3 = e^x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y- = C1*e^(-x) +C2 +C3*e^x , Ci ∈ R

Правая часть P(x) = x^2+x, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 0i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r2).

Уравнение имеет частное решение вида:

y· = x (Ax^2 + Bx + C)

Вычисляем производные:

y' = A·x^2+B·x+C+x(2·A·x+B)

y'' = 2(3·A·x+B)

y''' = 6·A

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y''' -y' = (6·A) -(A·x^2+B·x+C+x(2·A·x+B)) = x^2+x

или

-3·A·x^2+6·A-2·B·x-C = x^2+x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

x^2: -3A = 1

1: 6A -C = 0

x: -2B = 1

Решая ее, находим:

A = -1/3;B = -1/2;C = -2;

Частное решение имеет вид:

y·=x (-1/3x^2 -1/2x -2)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y = y- + y. =C1*e^(-x) +C2 +C3*e^x -1/3x^3 -1/2x^2 -2x