Question

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, за-данными уравнениями в полярных координатах. P = 3cos2(фи)​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle r=3cos(2\phi)$

это полярная роза. поскольку аргумент для cos четный, то тут будет 4 лепестка.

из графика видим, что для половины лепестка аргумент изменяется

от 0 до п/4

нам надо найти площадь 1/2 лепестка и умножить ее на 8, т.е наша площадь будет

S= 8*S₁

площадь половины лепестка находим по формуле площади  криволинейного сектора

$\displaystyle S_1=\frac{1}{2} \int\limits^{\phi_2}_{\phi_1} {r^2} \, d\phi$

для нас будет (заметим, что при замене переменных для вычисления будут меняться и пределы интегрирования)

$\displaystyle S_1=\frac{1}{2} \int\limits^{\pi/4}_0 {(3cos(2\phi))^2} \, d\phi =\frac{9}{2} \int\limits^{\pi/4}_0 {cos^2(2\phi)} \, d\phi=\left[\begin{array}{ccc}u=2\phi\quad du=2d\phi\\u_1=0\hfill\\u_2=\pi/2\hfill\end{array}\right] =$

$\displaystyle =\frac{9}{4} \int\limits^{\pi/2}_0 {\bigg (\frac{1}{2}cos(2u)+\frac{1}{2}\bigg ) } \, du =\frac{9}{8} \int\limits^{\pi/2}_0 {cos(2u)} \, du +\frac{9}{8} \int\limits^{\pi/2}_0 {} \, du=$

$\displaystyle =\frac{9}{8} \left[\begin{array}{ccc}s=2u\quad ds=2du\\s_1=0\hfill\\s_2=\pi\hfill\end{array}\right] +\frac{9u}{8} \bigg |_0^{\pi/2}=\frac{9}{16} \int\limits^\pi_0 {cos(s)} \, ds+\frac{9u}{8} \bigg |_0^{\pi/2}=$

$\displaystyle =\frac{9sin(s)}{16} \bigg |_0^\pi+\frac{9u}{8} \bigg |_0^{\pi/2}=0+\frac{9\pi}{16} =\frac{9\pi}{16}$

итак, мы вычислили 1/2  лепестка розы. теперь узнаем всю площадь нашей полярной розы

$\displaystyle S= 8*S_1 = 8*\frac{9\pi}{16} =\frac{9\pi}{2}$

это и есть ответ   $\displaystyle \frac{9\pi}{2}$  условных единиц.