Question

Решить. вроде как надо вычислить объём тела вращения по оси ОХ и ОУ
нарисовать рисунок

Answer 1

Пошаговое объяснение:

формула для вычисления объема тела вращения вокруг оси ОХ

$\displaystyle V_{OX}=\pi \int\limits^a_b {y^2(x)} \, dx\qquad \boldsymbol {(1)}$

формула для вычисления объема тела вращения вокруг оси ОY

$\displaystyle V_{OY}=\pi \int\limits^a_b {x^2(y)} \, dx \qquad \boldsymbol {(2)}$

в нашем случае

$\displaystyle y=x^3\\x=\sqrt[3]{y}$

из графика видим, что пределы интегрирования в обоих случаях одинаковы

считаем

1. вокруг оси ОХ у нас область не прилегает к оси ОХ, поэтому будет объем Vох = V₁ - V₂, где

V₁ - объем цилиндра (R=1, h=1)который равен $\displaystyle \pi$ (V= $\displaystyle \pi$R²h) и объем фигуры (вроде воронки), которую считаем по формуле (1), поэтому наш объем считаем

$\displaystyle V_{OX}=\pi -\pi \int\limits^1_0 {(x^3)^2} \, dx =\pi \frac{1}{x^7} \bigg |_0^1=\pi -\frac{\pi}{7}=\frac{6\pi }{7}$

2. вокруг оси ОУ у нас дырки нет, область полностью прилегает к оси ОУ, поэтому просто считаем по формуле (2)

$\displaystyle V_{OY}=\pi \int\limits^1_0 {(\sqrt[3]{y} )^2} \, dy =\pi \int\limits^1_0 {y^{2/3}} \, dy =\pi \frac{3y^{5/3}}{5} \bigg |_0^1=\frac{3\pi}{5}$

на схеме

красная штриховка - "воронка"

синяя -  наша фигура