Question

Найти сумму координат точки с отрицательной абсциссой, касательная в которой к графику функции $y=\frac{x+2}{x-1}$ параллельна прямой $y=-\frac{x}{3} -2$

Answer 1

Угловой коэффициент касательной равен $-1/3$, а значит, производная в искомой точке будет равна $-1/3$:

$f'(x_0)=-1/3$

Найдём производную:

$f'(x)=\dfrac{(x+2)'(x-1)-(x+2)(x-1)'}{(x-1)^2}=\dfrac{x-1-(x+2)}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}.$

$\dfrac{-3}{(x-1)^2}=-\dfrac{1}{3}\\\dfrac{3}{(x-1)^2}=\dfrac{1}{3}\\(x-1)^2=9\\$

Тут не нужно раскрывать скобки, поскольку слева и справа — полный квадрат. Нам нужно только отрицательное решение, поэтому:

$(x-1)^2=(-3)^2\\x-1=-3\\x=-2$

$f(-2)=\dfrac{-2+2}{-2-1}=0$

Получили точку с координатами –2 и 0. Их сумма –2.

ответ: –2.

На скриншоте проверка на компьютере. К этому графику есть ещё одна касательная, но она не подходит по условию (обозначил пунктиром — не надо перерисовывать).

Answer 2

Пошаговое объяснение:

у нас дана прямая с угловым коэффициентом у =(-1/3)х-2 .

любая ║ ей прямая будет иметь такой же угловой коэффициент -1/3

для случая касательной угловой коэффициент - значение производной в точке касания. значит, найдем производную - найдем точку касания

$\displaystyle y'=\bigg (\frac{x+2}{x-1}\bigg )'=\frac{(x+2)'(x-1)-(x+2)(x-1)'}{(x-1)^2} =-\frac{3}{x^2-2x+1}$

теперь y'(x₀)= -1/3

$\displaystyle -\frac{3}{x^2-2x+1} =-\frac{1}{3} \\\\9=x^2-2x+1\\\\x^2-2x-8 = 0 \qquad \Rightarrow \quad x_1=-2,\quad x_2=4$

точка х₂ = 4 нас не интересует.

найдем точку касания с отрицательной абсциссой

у(-2) = 0, т.е. точка (-2; 0)

ответ

сумма координат точки с отрицательной абсциссой (-2; 0) равна (-2)

дополнительно можно найти уравнение касательной

$\displaystyle y_k=-\frac{1}{3} x -\frac{2}{3}$

проверим всё на чертеже