Question

Найдите все значения положительного параметра, при которых система имеет 4 решения

Answer 1

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\left\{\begin{array}{ccc}|x|+|y|+|x-y|=4\sqrt{2}\\x^2+y^2=a^2\end{array}\right;$

Заметим, что в первой строке системы нет параметра. Тогда выгодно построить ее в координатах $(x;\;y)$.

Вторая строка системы представляет из себя окружность, которая имеет фиксированный центр по координатам $(0;\;0)$ и переменный радиус $|a|$.

Будем менять радиус окружности до тех пор, пока не достигнем интересующей ситуации.

(см. прикрепленный файл)

В первом случае окружность касается прямых $y=x+2\sqrt{2}$ и $y=-x+2\sqrt{2}$. Чтобы найти значение параметра здесь, удобнее всего будет воспользоваться формулой расстояния от точки до прямой:

$|a|=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}},\;=a=\pm2$

Во втором случае окружность проходит через точку $(2\sqrt{2};\;2\sqrt{2})$. Тогда подставим ее во вторую строку системы:

$8+8=a^2,\;=\;a=\pm4$

Получили, что при $a\in(-4;\;-2)\cup(2;\;4)$ исходная система имеет ровно четыре различных решения.

Так как по условию просят найти только положительные значения параметра, в ответ пишем $a\in(2;\;4)$.

Задание выполнено!