Question

Прямая $6x+y=18$ пересекает гиперболу $y=\frac{12}{x}$ в точках А и В. Найти длину отрезка АВ. Варианты ответов:
1) 12;
2) $\sqrt{37}$;
3) 42;
4) $\sqrt{17}$;
5) 24

Answer 1

Здравствуйте!

$\sqrt{37}$

Пошаговое объяснение:

Для начала стоит найти точки А и В. Чтобы сделать это, надо решить систему уравнений:

$\displaystyle\left \{ {{6x+y=18} \atop {y=\frac{12}{x}}} \right. \\\\\left \{ {{6x+\frac{12}{x}=18} \atop {y=\frac{12}{x}}} \right. \\\\6x+\frac{12}{x} =18\\\frac{6x^{2} +12}{x} =18\\\\6x^{2} +12=18x\\x^{2} +2=3x\\x^{2} -3x+2=0\\x_{1} =1 \:\:\:\:u \:\:\:\:x_{2}=2\\\left \{ {{x_{1}=1} \atop {y_{1}=\frac{12}{1}}} \right.\left \{ {{x_{1}=1} \atop {y_{1}=12}} \right.\\\left \{ {{x_{2}=2} \atop {y_{2}=\frac{12}{2}}} \right.\left \{ {{x_{2}=2} \atop {y_{2}=6}} \right.$

Получаем точки А(1; 12) и B (2; 6).

Чтобы найти длину отрезка, пользуемся формулой:

$\displaystyle\sqrt{(x_{2}-x_{1} )^{2} +(y_{2}-y_{1} )^{2} }$

Подставляем значения:

$\displaystyle\sqrt{(x_{2}-x_{1} )^{2} +(y_{2}-y_{1} )^{2} } =\\=\sqrt{(2-1 )^{2} +(12-6 )^{2} } =\sqrt{1+6^{2} } =\sqrt{37}$