Question

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 7, а среднее арифметическое шести наибольших равно 16. а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 5?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 10?

в) Пусть B — шестое по величине число, а S — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения S - B

Answer 1

а) нет

б) нет

в) 18 / 11

Пошаговое объяснение:

Упорядочим числа по возрастанию (a₁ < a₂ < ... < a₁₁). Тогда по условию:

$\dfrac{a_1+a_2+...+a_6}{6}=7\Leftrightarrow a_1+a_2+...+a_6=42 \ (1)\\\dfrac{a_6+a_7+...+a_{11}}{6}=16\Leftrightarrow a_6+a_7+...+a_{11}=96\ (2)$

а) Если a₁ = 5, то a₂ ≥ 6, a₃ ≥ 7, ... a₆ ≥ 10. Тогда a₁ + a₂ + ... + a₆ ≥ 5 + 6 + ... + 10 = 45, но сумма шести наименьших чисел равна 42, она не может быть больше или равна 45. Значит, такое невозможно.

б) Если такое возможно, то $\dfrac{a_1+a_2+...+a_{11}}{11}=10\Leftrightarrow a_1+a_2+...+a_{11}=110$

Сложим уравнения (1) и (2): a₁ + a₂ + ... + a₅ + 2a₆ + a₇ + ... + a₁₁ = 138. Но мы знаем, что a₁ + a₂ + ... + a₅ + a₆ + a₇ + ... + a₁₁ = 110. Тогда 110 + a₆ = 138 ⇔ a₆ = 28 ⇒ a₇ ≥ 29, a₈ ≥ 30, ... , a₁₁ ≥ 33 ⇒ a₆ + a₇ + ... + a₁₁ ≥ 28 + 29 + ... + 33 = 183. Минимально возможная сумма шести наибольших чисел в таком случае равна 183, что больше 96. Значит, такое невозможно.

в) Проведём действия, аналогичные пункту б): $\dfrac{a_1+a_2+...+a_{11}}{11}=S\Leftrightarrow a_1+a_2+...+a_{11}=11S$

a₁ + a₂ + ... + a₅ + 2B + a₇ + ... + a₁₁ = 138 ⇒ 11S + B = 138 ⇔ $S=\dfrac{138-B}{11}$ ⇒ $S-B=\dfrac{138-B}{11}-B=\dfrac{138-12B}{11}$. Данное выражение максимально при минимальном значении B.

Если a₆ = B, то в силу различности написанных чисел a₅ ≤ B - 1, a₄ ≤ B - 2, ... , a₁ ≤ B - 5. Тогда 42 = a₁ + a₂ + ... a₆ ≤ 6B - 15 ⇒ 6B ≥ 57 ⇔ B ≥ 9,5 ⇒ B ≥ 10. Тогда $S-B=\dfrac{138-12B}{11}\leq \dfrac{138-12\cdot 10}{11}=\dfrac{18}{11}$

Действительно, такое значение достигается, например, если были выписаны числа 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 36. Среднее арифметическое шести наименьших равно $\dfrac{2+6+7+8+9+10}{6}=\dfrac{42}{6}=7$, среднее арифметическое шести наибольших равно $\dfrac{10+11+12+13+14+36}{6}=\dfrac{96}{6}=16$, среднее арифметическое всех чисел $S=\dfrac{2+6+7+8+9+10+11+12+13+14+36}{11}=\dfrac{128}{11}$, $S-B=\dfrac{128}{11}-10=\dfrac{18}{11}$