Так как расстояния от общей вершины острого угла, измеренные по катету и по гипотенузе, равны, а расстояния от точки касания с катетами до вершины прямого угла равны радиусу вписанной окружности, то длины катетов являются суммами двух слагаемых:
(5+х) см - первый катет,
(7+х) см - второй катет.
Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
(5+х)² + (7+х)² = (5+7)²
25 + 10х + х² + 49+14х +х² = 144
2х²+24х+74-144 = 0
х²+12х-35=0
х₁,₂ = -6±√(6²-(-35) = -6±√71
х = -6 +√71 (отрицательное значение корня -6 -√71 отбрасываем, так как радиус не может быть выражен отрицательным числом).
Длины катетов:
(5+х) = 5 -6 +√71 = -1 +√71 =(√71 -1) см ≈ 8,42615 - 1 ≈ 7,42615 см
(7+х) = 7 -6 +√71 = 1 +√71 = (√71+1) см ≈ 8,42615 + 1 ≈ 9,42615 см
144 = 12² - что соответствует условию задачи, следовательно, длины катетов найдены верно.
ответ: (√71-1) см и (√71+1) см
ПРИМЕЧАНИЕ.
Дополнительная проверка делается по формуле:
r = (a+b-c)/2,
где г - радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник;
а и b - катеты,
с - гипотенуза.
Если подставим в эту формулу найденные длины катетов, то получим, что радиус окружности, вписанной в данный прямоугольный треугольник, равен (- 6 +√71) см, что соответствует значению х, полученному в ходе решения данной задачи.
Для решения задачи, нам необходимо выполнить ряд построений.
Шаг 1: Нарисуем прямоугольник ABCD и отметим точку S, которая не лежит в его плоскости.
шаг 2: Построим отрезок SB перпендикулярный прямой AB. Для этого возьмем произвольную точку B1 на прямой AB и проведем прямую B1S.
- Продолжим прямую B1S за точку S, получив точку B2 вне прямоугольника.
- С помощью циркуля и линейки проведем луч PB2, который будет перпендикулярен прямой AB.
- Таким образом, точка B будет пересекаться с лучом PB2 в точке B3, а точка S будет лежать на отрезке B3B.
шаг 3: Построим отрезок SO перпендикулярный прямой AB. Для этого проведем диагонали AC и BD прямоугольника ABCD и найдем их точку пересечения O.
- С помощью циркуля и линейки проведем луч OB3, который будет перпендикулярен прямой AB.
- Найдем точку пересечения прямой OB3 и прямой B3S, обозначим эту точку как S'.
шаг 4: Построим линейный угол двугранного угла с ребром DC.
- Проведем прямую O'S, которая будет пересекать ребро DC в точке M.
- Найдем середину ребра DC (обозначим ее точкой N).
- Сделаем отметку на ребре DM, равную отрезку MN.
- Проведем прямую NM, которая будет пересекать ребро DC в точке T.
- Таким образом, у нас получился линейный угол двугранного угла на ребре DC с вершиной в точке T.
Таким образом, получается, что для построения линейного угла в нашей задаче, необходимо выполнить следующие построения:
1. Провести отрезок SB перпендикулярно прямой AB.
2. Провести отрезок SO перпендикулярно прямой AB.
3. Найти точку пересечения прямых OB3 и B3S и обозначить ее как S'.
4. Провести прямую O'S, которая будет пересекать ребро DC в точке M.
5. Найти середину ребра DC и обозначить ее как точку N.
6. Сделать отметку на ребре DM, равную отрезку MN.
7. Провести прямую NM, которая будет пересекать ребро DC в точке T.
У нас есть бригада из 14 человек, которая должна оформить цветник за 6 часов. Однако, из-за болезни 4 человек не пришли на работу. Теперь нам нужно выяснить, сколько времени требуется оставшейся бригаде, чтобы выполнить задачу.
Для начала, посмотрим, сколько работников осталось в бригаде после того, как 4 человека заболели. Вычитаем 4 из 14:
14 - 4 = 10
Таким образом, в бригаде осталось 10 человек.
Теперь у нас есть две неизвестные: время, требуемое для выполнения задачи, и количество часов работы, которые остались у бригады. Обозначим время, требуемое для выполнения задачи, как Х часов.
Мы знаем, что бригада из 14 человек могла выполнить задачу за 6 часов. Теперь, с учетом того, что у нас осталось только 10 человек, мы можем составить пропорцию:
14 человек / 6 часов = 10 человек / Х часов
Для решения этой пропорции, мы можем использовать метод перекрестного умножения:
14 * Х часов = 10 * 6 часов
14Х = 60
Теперь нам нужно найти значение Х. Разделим обе стороны уравнения на 14:
Х = 60 / 14
Получаем:
Х ≈ 4,29
Таким образом, бригаде из оставшихся 10 человек потребуется примерно 4,29 часов, чтобы выполнить задачу.
Однако, учитывая, что время обычно измеряется в целых числах часов, мы можем округлить это значение вверх до 5 часов. Так что окончательный ответ будет состоять в том, что бригаде потребуется примерно 5 часов, чтобы выполнить задачу в таких условиях.
(√71-1) см и (√71+1) см
Пошаговое объяснение:
Пусть х - радиус окружности.
Так как расстояния от общей вершины острого угла, измеренные по катету и по гипотенузе, равны, а расстояния от точки касания с катетами до вершины прямого угла равны радиусу вписанной окружности, то длины катетов являются суммами двух слагаемых:
(5+х) см - первый катет,
(7+х) см - второй катет.
Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
(5+х)² + (7+х)² = (5+7)²
25 + 10х + х² + 49+14х +х² = 144
2х²+24х+74-144 = 0
х²+12х-35=0
х₁,₂ = -6±√(6²-(-35) = -6±√71
х = -6 +√71 (отрицательное значение корня -6 -√71 отбрасываем, так как радиус не может быть выражен отрицательным числом).
Длины катетов:
(5+х) = 5 -6 +√71 = -1 +√71 =(√71 -1) см ≈ 8,42615 - 1 ≈ 7,42615 см
(7+х) = 7 -6 +√71 = 1 +√71 = (√71+1) см ≈ 8,42615 + 1 ≈ 9,42615 см
ПРОВЕРКА:
(√71-1)² + (√71+1)² = 71 - 2√71 +1 +71 +2√71 +1 = 144
144 = 12² - что соответствует условию задачи, следовательно, длины катетов найдены верно.
ответ: (√71-1) см и (√71+1) см
ПРИМЕЧАНИЕ.
Дополнительная проверка делается по формуле:
r = (a+b-c)/2,
где г - радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник;
а и b - катеты,
с - гипотенуза.
Если подставим в эту формулу найденные длины катетов, то получим, что радиус окружности, вписанной в данный прямоугольный треугольник, равен (- 6 +√71) см, что соответствует значению х, полученному в ходе решения данной задачи.