Question

Можно ли натуральные от 1 до 2020 разбить на 1010 пар так, чтобы разность чисел в первой паре была равна 1, во второй паре — 2, . . . , в последней паре — 1010?

Answer 1

нет

Пошаговое объяснение:

Предположим, что такое разбиение возможно и оно выполнено. Обозначим меньшие числа в парах буквами a с индексами:

$a_1, \;a_2,..., \;a_{1010}$

Индекс совпадает с разностью чисел в паре, в которой состоит соответствующее число.

Тогда большее число в $i$-той паре будет равно $a_i+i$, а их (бОльших чисел) последовательность выглядеть так:

$a_1+1,\; a_2+2, ...,\; a_{1010}+1010$

Вычислим сумму чисел от 1 до 2020 двумя . С одной стороны, ее можно найти как сумму $S_{2020}$ первых 2020 элементов арифметической прогрессии с первым элементом $b_1=1$ и разностью $d=1$:

$S_{2020}=\frac{1+2020}{2}*2020=2041210$

С другой стороны, можно сложить суммы в парах чисел, используя введенные буквенные обозначения:

$S_{2020}=\sum\limits_{i=1}^{1010}\bigg(a_i+(a_i+i)\bigg)=\sum\limits_{i=1}^{1010}2a_i+\sum\limits_{i=1}^{1010}i=\\2(a_1+a_2+...+a_{1010})+(1+2+...+1010)$

Сумму чисел во вторых скобках опять же найдем как сумму $S_{1010}$ первых 1010 элементов арифметической прогрессии с первым элементом $b_1=1$ и разностью $d=1$:

$S_{1010}=\frac{1+1010}{2}*1010=510555$

Мы подошли к ключевому равенству: приравняем полученные разными путями суммы:

$2(a_1+a_2+...+a_{1010})+510555=2041210$

Отсюда

$2(a_1+a_2+...+a_{1010})=1530655\\a_1+a_2+a_{1010}=765327.5$

Однако сумма натуральных чисел не может быть дробной! Получили противоречие. А значит, разбиение, о котором идет речь в задаче, невозможно.