Question

в графе 100 вершин, нет треугольников, степень каждой вершины больше 40. доказать, что в этом графе нет циклов длины 5.

Answer 1

Для доказательства отсутствия циклов длины 5 в данном графе, мы можем воспользоваться принципом Дирихле.

Предположим, что в данном графе существует цикл длины 5. Заметим, что в этом цикле должно быть 5 различных вершин. Так как в графе всего 100 вершин, то в нем должно быть выбрано хотя бы 5 вершин.

Теперь рассмотрим выбранные 5 вершин из цикла длины 5. У каждой из этих вершин степень должна быть больше 40, значит, каждая из них имеет хотя бы 41 соседа (в графе нет петель или кратных ребер).

Поскольку в графе выбраны только 5 вершин, и каждая из них имеет как минимум 41 соседа, то общее количество соседей этих 5 вершин будет не меньше, чем 5 умножить на 41, что составляет 205.

Однако, в графе всего 100 вершин, поэтому общее количество соседей всех вершин в этом графе не может превышать 100 умножить на степень каждой вершины, то есть 100 умножить на 40, что также составляет 4000.

Таким образом, мы получаем противоречие: общее количество соседей выбранных 5 вершин (205) не может быть больше общего количества соседей всех вершин в графе (4000). Это означает, что предположение о существовании цикла длины 5 в данном графе неверно.

Следовательно, мы можем сделать вывод, что данный граф не содержит циклов длины 5.