Question

В прямоугольной трапеции ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Из точки О проведен перпендикуляр OE к стороне AB. Докажите, что углы CEO и DEO равны.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Дано: ABCD - прямоугольная трапеция

ОЕ⊥АВ

Доказать: ∠СЕО=∠DEO

Доказательство:

1. CB⊥AB; AD⊥AB; OE⊥AB ⇒CB║AD║OE

2. Рассмотрим ΔABD и ΔЕВО

OE║AD

⇒ ΔABD ~ ΔЕВО (лемма о подобных треугольниках)

Составим пропорцию:

$\frac{BE}{AB}=\frac{OE}{AD}\;\;\;(1)$

3. Рассмотрим ΔABС и ΔАЕО

OE║ВС

⇒ ΔABС ~ ΔАЕО (лемма о подобных треугольниках)

Составим пропорцию:

$\frac{OE}{BC}=\frac{AE}{AB}\;\;\;(2)$

4. Выразим из (2) ОЕ и подставим в (1):

$OE=\frac{BC*AE}{AB}\\\\\frac{BE}{AB}=\frac{DC*AE}{AB*AD}\\$

Отсюда получим:

$\frac{BE}{AE}=\frac{BC}{AD}$

5. Рассмотрим ΔЕВС и ΔAED - прямоугольные.

∠А=∠В=90°

Стороны пропорциональны (п.4):

$\frac{BE}{AE}=\frac{BC}{AD}$

⇒ ΔЕВС ~ ΔAED

⇒∠BEC=∠AED

6.

∠CEO=90°-∠BEC

∠DEO=90°-∠AED

⇒∠CEO=∠DEO