. Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.
Найди наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.
ответ:
Давайте разберемся сначала, какие числа являются очень счастливыми.
Очень счастливое четырёхзначное число должно состоять из различных цифр и иметь равную сумму первых двух и последних двух цифр.
Для начала, возьмем все возможные комбинации из 4 различных цифр: 1234, 1243, 1324, 1342, и так далее. Всего таких комбинаций будет 4! = 24.
Теперь посмотрим на суммы первых двух и последних двух цифр для каждой комбинации.
Для числа 1234, сумма первых двух цифр равна 1 + 2 = 3, а сумма последних двух цифр равна 3 + 4 = 7. Они не равны, поэтому это число не является очень счастливым.
Проделаем то же самое для остальных комбинаций:
- 1243: 1 + 2 = 3, 4 + 3 = 7 (не равны)
- 1324: 1 + 3 = 4, 2 + 4 = 6 (не равны)
- 1342: 1 + 3 = 4, 4 + 2 = 6 (не равны)
- 1423: 1 + 4 = 5, 2 + 3 = 5 (равны)
Мы нашли одно очень счастливое четырёхзначное число - 1423.
Теперь, давайте найдем наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.
Будем начинать перебор с наименьшего простого числа 2 и проверять каждое простое число, начиная с 2, до тех пор, пока не найдем такое, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.
Перебираем числа:
2 - Не является очень счастливым числом (потому что состоит из одной цифры)
3 - Не является очень счастливым числом (сумма первых двух цифр больше суммы последних двух цифр)
5 - Не является очень счастливым числом (сумма первых двух цифр больше суммы последних двух цифр)
7 - Не является очень счастливым числом (сумма первых двух цифр больше суммы последних двух цифр)
11 - Не является очень счастливым числом (потому что состоит из двух цифр)
13 - Не является очень счастливым числом (сумма первых двух цифр больше суммы последних двух цифр)
Продолжаем перебор:
17 - Не является очень счастливым числом (сумма первых двух цифр больше суммы последних двух цифр)
19 - Является очень счастливым числом (сумма первых двух цифр равна сумме последних двух цифр)
Таким образом, наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа, равно 19.