Question

Для произвольных вещественных a,b,c докажите неравенство

Answer 1

Предположим, что a≤b≤c, причем расстояние между a и b не больше, чем между b и c (если бы  расстояние между a и b было больше, мы могли бы умножить все три числа на минус 1, и тогда самым маленьким стало левое расстояние). Итак, мы имеем:

a=b-p; c=b+q; q≥p≥0. Надо доказать, что

2p²≤a²+b²+c², то есть 2p²≤(b-p)²+b²+(b+q)²;

2p²≤b²-2bp+p²+b²+b²+2bq+q²; 3b²+2b(q-p)+(q²-p²)≥0.

Заметим, что это квадратный трехчлен относительно b.

Поскольку старший коэффициент положителен, а дискриминант

$D=4((q-p)^2-3(q^2-p^2))=4(q-p)(q-p-3q-3p)=-8(q-p)(q+2p)$

меньше либо равен 0, это выражение не бывает отрицательным.

На этом доказательство завершено.