Question

Lim(x->0 y->0) (1+x^2+y^2)^(1/(x^2+y^2))=?

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \bigg ( \lim_{y \to 0} (1+x^2+y^2)^{\displaystyle\frac{1}{1+x^2+y^2}}\bigg )=e$

Пошаговое объяснение:

если это повторный предел, то тогда так

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \bigg ( \lim_{y \to 0} (1+x^2+y^2)^{\displaystyle\frac{1}{1+x^2+y^2}}\bigg )$

посчитаем внутренний предел

$\displaystyle \lim_{y \to 0} (1+x^2+y^2)^{\displaystyle\frac{1}{1+x^2+y^2}}=(1+x^2)^{\displaystyle\frac{1}{x^2} }$

теперь посчитаем внешний предел

для этого используем свойства второго замечательного предела

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\bigg (1+\frac{a}{x} \bigg )^\displaystyle{bx}}= e^\displaystyle{ab}$

$\displaystyle \lim_{x \to 0} (1+x^2)^\displaystyle{\frac{1}{x^2} } }=\bigg [a=x^3 \quad b=\frac{1}{x^3} \bigg ]=e^{\displaystyle x^3*\frac{1}{x^3} }}=e$

ответ

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \bigg ( \lim_{y \to 0} (1+x^2+y^2)^{\displaystyle\frac{1}{1+x^2+y^2}}\bigg )=e$