Question

Із проміжку [-1;2] навмання взято два дійсні числа. Знайдіть імовірність того, то їхня сума буде більшою від одиниці, а добуток менший від одиниці.

Answer 1

Задача на геометрическую вероятность.

Пусть два действительные числа имеют обозначения x и у.

Выбрать произвольно два числа x, y ∈ [-1;2] означает, что нужно точку с координатами (x;y) во внутрь квадрата -1 ≤ x;y ≤ 2 площадь которой $S=3^2=9$

Согласно условию: x + y > 1 и xy < 1. Нарисуем область

$m=\displaystyle\int_{-1}^{1/2}dx\int^2_{1/2}dy+\int_{1/2}^2dx\int^{1/x}_{1-x} dy=\int^{1/2}_{-1}(1+x)dx+\int^2_{1/2}\left(\frac{1}{x}-1+x\right)dx=$

$\displaystyle \left(x+\dfrac{x^2}{2}\right)\bigg|^{1/2}_{-1}+\left(\ln|x|-x+\dfrac{x^2}{2}\right)\bigg|^{2}_{1/2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}+1-\dfrac{1}{2}+\ln2-$

$-\ln\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}=\ln4+1.5$

Искомая вероятность $p=\dfrac{m}{n}=\dfrac{\ln4+1.5}{9}\approx0.32$