Question

Найти все пары чисел (x;y), удовлетворяющих уравнению

$\bf\\x-x\sqrt{1-4y^2}=x^2y+y$

Answer 1

лаалпллмлплплпдпдпдк

Answer 2

(-1; -0.5); (1; 0.5); (x; 0), где х любое число

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle\\x-x\sqrt{1-4y^2}=x^2y+y\\\\x^2y-x+x\sqrt{1-4y^2}+y=0\\\\yx^2-(1- \sqrt{1-4y^2})x+y=0$

ограничение $1-4y^2\geq 0;4y^2\leq 1;y^2\leq \dfrac{1}{4};y\in\Big[-\dfrac{1}{2} ;+\dfrac{1}{2} \Big]$

1) если y = 0, то равенство выполняется для любых х

0 · x² - (1 - √(1 - 4 · 0))x + 0 = 0;   0 - 0 + 0 = 0   верно

2) если  y ≠ 0, то можем рассмотреть уравнение как квадратное

относительно неизвестной х

необходимо, чтобы дискриминант был ≥0

$\displaystyle\\ D=b^2-4ac\\D=\Big(1-\sqrt{1-4y^2} \Big)^2-4y^2=1-2\sqrt{1-4y^2}+1-4y^2-4y^2=\\\\=2-8y^2-2\sqrt{1-4y^2}=2(1-4y^2)-2\sqrt{1-4y^2}=\\\\=2\sqrt{1-4y^2}\Big(\sqrt{1-4y^2}-1\Big)\geq 0$

при y ≠ 0    $1-4y^2$

чтобы неравенство выполнялось, необходимо,

чтобы $\sqrt{1-4y^2} \leq 0$

но по определению арифметического квадратного корня

$\sqrt{1-4y^2} \geq 0$

⇒ возможно только $\sqrt{1-4y^2} = 0;1=4y^2;y=\pm\dfrac{1}{2}$

подставим в уравнение , получим соответственно значения $x=\pm1$

ответ: (-1; -0.5); (1; 0.5); (x; 0), где х любое число