Поскольку равенство симметрично, можно без ограничения общности считать, что x ≤ y ≤ z. Положим y = x + k, а z = x + m, где k и m - неотрицательные целые. Тогда 4(x + y + z) = xy + yz + zx => 4(x + x + k + x + m) = x*(x + k) + x*(x + m) + (x + k)*(x + m) => 4(3x + k + m) = x^2 + kx + x^2 + mx + x^2 + mx + kx + km => 12x + 4(k + m) = 3x^2 + 2x(k + m) + km => 3x^2 + 2x(k + m) - 12x + km - 4(k + m) = 0 => 3x^2 + (2(k + m) - 12)x + km - 4(k + m) = 0. Получили квадратное относительно x уравнение. Находим дискриминант: D = (2(k + m) - 12)^2 - 12(km - 4(k + m)) = 4k^2 + 4km + 4m^2 - 48k - 48m + 144 - 12km + 48k + 48m = 4k^2 + 4m^2 - 8km + 144. Поскольку x у нас натуральное, дискриминант должен являться полным квадратом. Сразу видим, что поскольку 4k^2 + 4m^2 - 8km = 4(k^2 + m^2 - 2km) = 4(k - m)^2, то при k = m, D = 144. Тогда наше решение будет x(1,2) = -((2(k + m) - 12) ± √144)/6, отсюда x1 = (12 + 12 - 2(k + m))/6 = (24 - 2(k+m))/6 = (24 - 4k)/6. Отсюда видно, что x1 будет натуральным при k = 0 и k = 3. Его значения будут равны соответственно x1 = 4 и x1 = 2. Второй корень x2 = (12 - 12 - 2(k + m))/6 = -(k + m)/3 отрицательный и нам не подходит. Тогда, в случае k = m, имеем следующие наборы возможных решений (x, y, z) = (4, 4, 4), (x, y, z) = (2, 5, 5). Непосредственной проверкой убеждаемся, что решение (2, 5, 5) нам не подходит. Т. о. в случае, когда k = m имеем одно решение x = y = z = 4. Обратимся снова к дискриминанту: D = 4k^2 + 4m^2 - 8km + 144. Пусть теперь k ≠ m. Рассмотрим выражение 4k^2 + 4m^2 - 8km = 4(k^2 + m^2 - 2km) = 4(k - m)^2 = 4(k - m)*(k - m). Как было сказано выше, D в нашем случае должен являться полным квадратом. Т. е. D = 4(k - m)*(k - m) + 144 = a^2 => 4(k - m)*(k - m) = a^2 - 144 = (a - 12)*(a + 12). Отсюда имеем всего одну возможность: a - 12 = k - m и a + 12 = 4(k - m) = 4(a - 12) => 4a - a = 48 + 12 => 60 = 3a => a = 60/3 = 20. Т. о. дискриминант D = 4k^2 + 4m^2 - 8km + 144 = 20^2 = 400 => 4(k^2 + m^2 - 2km) + 144 = 400 => 4(k^2 + m^2 - 2km) = 256 => k^2 + m^2 - 2km = 256/4 = 64 => (k - m)^2 = 64 => k - m = 8 и k = m + 8. Т. о. при неотрицательных целых m, нам подходят k = m + 8. Ввиду симетрии уравнения, обратное ведет к одинаковым решениям. Общее решение имеет вид x(1,2) = -((2(k + m) - 12) ± √400)/6. Рассмотрим граничные значения k и m, при которых дискриминант остается неотрицательным. D ≥ 0 при |12 - 2(k + m)| ≤ 20. Этому условию соответствуют пары (k, m) = (8, 0), (9, 1), (10, 2), (11, 3) и (12, 4). Соответствующие значения x будут 16/6, 2, 8/6, 2/3 и 0. Из этих значений x нам подходит лишь одно x = 2. При x = 2, y = x+ k = 2 +9 = 11, z = x + m = 2 + 1 = 3 и мы получаем тройку (x, y, z) = (2, 11, 3). Проверим это решение. Левая часть уравнения 4(x + y + z) = xy + yz + zx является четным числом, тогда как правая при нечетных y и z будет нечетной. Следовательно, данное решение нам не подходит. Т. о. получаем, что единственным решением данного уравнения является тройка чисел (x, y, z) = (4, 4, 4).
ответ: (x, y, z) = (4, 4, 4).
Первый пример.
2 3/4 - 1 5/6 = 2 * 4 + 3/4 - 1 * 6 + 5/6 = 11/4 - 11/6 = 11 * 6/4 * 6 - 11 * 4/6 * 4 = 66/24 - 44/24 = 66 - 44/24 = 22/24 = 11 * 2/12 * 2 = 11/12;
Второй пример.
4 2/5 + 3 5/6 = 4 * 5 + 2/5 + 3 * 6 + 5/6 = 22/5 + 23/6 = 22 * 6/5 * 6 + 23 * 5/6 * 5 = 132/30 + 115/30 = 132 + 115/30 = 247/30 = 7 + 8 * 30/30 = 8 7/30;
Второй пример.
7 5/12 - (1 5/8 + 2 1/ 24) = 3 3/4;
Первое действие.
1 5/8 + 2 1/24 = 1 * 8 + 5/8 + 2 * 24 + 1/24 = 13/8 + 49/24 = 13 * 24/8 * 24 + 49 * 8/24 * 8 = 312/192 + 392/192 = 312 + 392/192 = 704/192 = 11 * 64/3 * 64 = 11/3 = 2 + 3 * 3/3 = 3 2/3;
Второе действие.
7 5/12 - 3 2/3 = 7 * 12 + 5/12 - 3 * 3 + 2/3 = 89/12 - 11/3 = 89 * 3/12 * 3 - 11 * 12/3 * 12 = 267/36 - 132/36 = 267 - 132/36 = 135/36 = 15 * 9/4 * 9 = 15/4 = 3 + 3 * 4/4 = 3 3/4.